- Introducción a Geometría de Riemann
Presentación del curso. ¿Quién fue Riemann? Geometría en dimensión arbitraria. Geometría sin hacer referencia al espacio ambiente.
- Variedad topológica
Definición de variedad topológica. Dimensión de una variedad. Carta coordenada. Ejemplos de variedades topológicas: 1) grafos de funciones continuas, 2) esferas n-dimensionales, 3) espacios proyectivos, 4) variedades producto, 5) toros n-dimensionales. Propiedades topológicas de las variedades.
- Variedad diferenciable
Cambio de coordenadas o aplicación transición. Cartas compatibles. Atlas diferenciable. Atlas maximal. Estructura diferenciable. Variedad diferenciable. Ejemplos de variedades. Variedades 0-dimensionales. Espacios euclídeos o euclidianos. Una estructura diferenciable distinta para la recta real. Espacios vectoriales de dimensión finita. Espacios de matrices. Subvariedades abiertas. El grupo general lineal. Esferas n-dimensionales. Espacios productivos. Espacios producto.
- Aplicaciones diferenciables y difeomorfismos
Distinción entre función y aplicación. Función diferenciable. Representación en coordenadas de una función. Aplicación diferenciable. Algunos ejercicios sencillos. Ejemplos de funciones y aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos. Ejemplos.
- Función salto y aplicaciones
Construcción de la función salto. Existencia de la función salto en una variedad. Aplicación 1: extensión de funciones. Aplicación 2: extensión de campos.
- Vectores tangentes
La dificultad para definir un vector tangente a una variedad. Vectores como derivaciones. Vectores tangentes a una variedad. El espacio tangente. La base de las parciales. Ejemplos. Vectores tangentes de una superficie regular. Sobre el abuso de notación. Coordenadas polares en el plano.
- La diferencial de una aplicación
La diferencial de una aplicación entre variedades. La diferencial en coordenadas. Caso especial: el cambio de coordenadas. Ejemplos. Coordenadas polares y canónicas. La diferencial de la aplicación antípoda. La velocidad de una curva.
- Campos de vectores
Fibrado tangente. Campo de vectores. Ejemplos de campos de vectores. Los campos como derivaciones en el anillo de las funciones diferenciables. El corchete de Lie. Interpretación geométrica del corchete. El corchete en coordenadas.
- Covectores, espacio cotangente y uno-formas
Repaso de álgebra: covectores y espacio dual. Covectores tangentes. Covectores y cambio de coordenadas. Covarianza y contravarianza. La diferencial de una función es un covector. Ejemplos. Campos de covectores o uno-formas.
- Tensores
Repaso de álgebra multilineal. Tensores en un espacio vectorial. Producto tensorial. Tensores covariantes, contravariantes y mixtos. Bases para los espacios de tensores. Tensores sobre una variedad. Bases y coordenadas. Interpretación alternativa de los tensores. Carácter puntual de los tensores. La contracción de un tensor. Una nueva caracterización para los tensores.
- Métricas riemannianas
Métricas en una variedad. Tipos de métrica según el índice. La métrica en coordenadas. Ejemplos de métricas. La métrica inducida por una inmersión. El pull-back de un tensor covariante. Muchos más ejemplos. La métrica producto.
- Los espacios modelo de la geometría riemanniana
SUMARIO
Los espacios modelo. El espacio euclídeo n-dimensional. Homogeneidad. Isotropía. La esfera n-dimensional. El espacio hiperbólico n-dimensional y sus diferentes realizaciones.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulo 3.
- La conexión euclidea
SUMARIO
El problema de derivar campos de vectores. Conexión afín euclídea. Propiedades. Carácter puntual y local de la conexión afín euclídea.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
- Conexiones afines
SUMARIO
Conexión afín en una variedad. Propiedades de la conexión. Ejemplos de conexiones afines. Conexión afín euclídea. Conexión inducida en una superficie regular.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
- La conexión en coordenadas
SUMARIO
La conexión en coordenadas. Los símbolos de la conexión. Ejemplos. Existencia de conexiones afines.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
- Derivada covariante
SUMARIO
Campos a lo largo de una curva. Ejemplos. Derivada covariante a lo largo de una curva. Existencia y unicidad.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
- Geodésicas y transporte paralelo
SUMARIO
Geodésicas respecto de una conexión afín. Transporte paralelo. Ejemplos. Conexiones y métricas: ¿hay alguna relación entre ambos conceptos?
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
- La conexión de Levi-Civita
SUMARIO
Conexión compatible con la métrica. Conexión simétrica. Tensor torsión. Teorema fundamental de la geometría de Riemann. Fórmula de Koszul. Símbolos de Christoffel. Conexión de Levi-Civita.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.
Observación
En otros textos clásicos se demuestra la existencia de la conexión de Levi-Civita partiendo de la fórmula de Koszul. ...
- Curvatura de Riemann
SUMARIO
Preliminares: ¿cuál es el camino? El operador curvatura. El tensor curvatura. Identidad de Bianchi. Versión covariante del tensor de Riemann. Simetrías del tensor de Riemann. El tensor de Riemann mide la conmutatividad de la derivada covariante. Curvatura seccional. Curvatura seccional y curvatura de Gauss.
BIBLIO
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.
- La ecuación de Jacobi
SUMARIO
Familia de geodésicas. Ecuación de Jacobi. Interpretación geométrica. Ejemplos. Posición relativa de una geodésica respecto de otra. El campo variacional como una medida de la posición. Justificación.
BIBLIO
Elaboración propia y algunas partes de:
Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.
