GPS y Relatividad (I) | Gravitación

Introducción al sistema GPS

«There is no better illustration of the unpredictable payback of fundamental science than the story of Albert Einstein and the Global Positioning System. The next time your plane approaches an airport in bad weather, and you just happen to be wondering what good is basic science, think about Einstein and the GPS tracker in the cockpit, guiding you to a safe landing.»

Clifford Will

El GPS es el primero de los dispositivos, con la única excepción de los aceleradores de partículas, en el que los efectos relativistas deben ser tenidos en cuenta para el correcto funcionamiento del mismo. Esto es así por tres motivos:

1. Los satélites GPS se desplazan a una gran velocidad,

2. Existe una diferencia de potencial significativa entre los satélites y el receptor en la superficie, y

3. La rotación de la Tierra también afecta sustancialmente al funcionamiento de los aparatos.

Si bien los efectos cuantitativos son extremadamente pequeños, la precisión del sistema exige ajustar las operaciones hasta más allá del orden de los nanosegundos que es la magnitud en la que trabajan los relojes atómicos incorporados en los satélites y en el sistema global. (En la actualidad, los relojes atómicos de los satélites son precisos hasta el orden $10^{-14}$ .)

Pero antes de continuar vamos a entender cómo funciona un GPS de forma esquemática. Para ello nos colocamos en un mundo uno-dimensional y consideramos los siguientes ingredientes:

– Un satélite que emite señales en las que codifica su posición en el eje $x$ y el tiempo de la emisión $t$ , y

– Un aparato receptor situado en un lugar por determinar.

El satélite emite entonces una señal $(x_0,t_0)$ de forma periódica y el receptor la recibe en el instante $t_1$ . Si el receptor desea saber su posición $x_1$ en el eje $x$ basta resolver la ecuación

$|x_1-x_0|=c(t_1-t_0)$

donde, salvo $x_1$ , los demás datos son conocidos. Observemos que existe una indeterminación en el signo que puede ser resuelta gracias a la intervención de un segundo satélite.

El problema análogo para dos dimensiones exige el concurso de tres satélites mientras que, para tres dimensiones espaciales, se requieren cuatro satélites como mínimo para determinar con exactitud la posición.

Observemos entonces que la clave para el buen funcionamiento del sistema está en la correcta medición de los tiempos $t_1$ (receptor) y $t_0$ (emisor). Observemos también que errores pequeños en el cálculo de esta diferencia suponen cálculos en la distancia muy apartados de la realidad ya que la constante $c$ por la que se multiplica tiene un valor muy alto. Por ejemplo, un error de nanosegundos (del orden $10^{-9}$ ) por cada segundo supondría un desplazamiento dado por

$10^{-9}\times 3 \times 10^8 =0,3 \text{m}$

por lo que nos apartaríamos 30 centímetros de nuestra posición. El asunto está en que este efecto indeseado se iría acumulando en el sistema y cuando haya pasado un minuto el error ya sería de 18 metros, algo inadmisible.

Pregunta

¿Acaso llevamos nosotros un reloj atómico en nuestro receptor? Para nada. El reloj en nuestro GPS de mano tiene mucha menos precisión que los relojes atómicos de los satélites. Este problema se subsana con la señal adicional de un nuevo satélite de control que corrige de forma casi continua el reloj de nuestro dispositivo.

Con las señales de dos satélites determinamos espacio y tiempo en un mundo 1D

En la próxima clase veremos con más detalle con funciona exactamente el sistema, cómo mide el tiempo el receptor y cuál es la magnitud de los errores cometidos. En la presente nos vamos a dedicar a presentar someramente los aspectos teóricos de la Relatividad por los cuales las operaciones del GPS se ven afectadas.

La dilatación del tiempo

En la lección La dilatación del tiempo hemos estudiado el comportamiento de dos relojes en movimiento relativo uno con respecto a otro dentro del marco de la relatividad especial. Así, con la notación específica para la clase en la que estamos trabajando, se tiene que

$t_r=\frac{t_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

donde $t_s$ representa el tiempo medido por un observador en reposo en relación al experimento que estamos tratando. (En este caso, el experimento consiste en observar el tiempo transcurrido entre dos tic-tac para un reloj situado en el satélite tal y como lo mide alguien que viaja solidario con el satélite.)

Por otra parte, $t_r$ representa el tiempo medido por un observador que se encuentra en movimiento relativo a velocidad $v$ con respecto al sistema en el que se desarrolla el experimento. (En este contexto, un observador en la superficie terrestre que observa el satélite moverse a velocidad $v$ y que mide una separación de $t_r$ entre los dos tic-tac.)

Por ejemplo, si el satélite se está moviendo a una (inusualmente alta) velocidad $v=0,8c$ entonces se tiene que

$t_r=1,6t_s$

por lo que cuando en el satélite ha transcurrido un tiempo $t_s=1$ entre la emisión de dos señales consecutivas, el observador en la superficie terrestre registra que estas dos señales llegan con una separación de $t_r=1,6$ segundos.

La dilatación gravitatoria del tiempo

En la lección Relojes en un campo gravitatorio explicamos cómo afecta la posición en un campo al discurrir del tiempo de modo que relojes situados en diferentes alturas miden el tiempo de distintas maneras. En concreto, se tiene la siguiente expresión:

$t_r=(1-\frac{\Phi_s-\Phi_r}{c^2})t_s.$

De nuevo, hemos adaptado la notación para este problema particular del GPS. Así, $t_s$ representa el tiempo medido por un reloj en el satélite mientas que $t_r$ denota el mismo tiempo entre ambos eventos tal y como los observa el receptor en la superficie terrestre. Finalmente, $\Phi_s$ es el potencial gravitatorio del satélite mientras que $\Phi_r$ es el potencial a nivel de la superficie terrestre donde se encuentra el receptor.

Observemos ahora que $\Phi_s > \Phi_r$ por lo que $t_r < t_s$ . De esta forma, el efecto debido a la gravedad terrestre tiende a contrarrestar el efecto de la relatividad especial. La cuestión crucial aquí sería estimar cuál de los dos es más fuerte. Lo veremos con detalle en la próxima clase.