Relojes en un campo gravitatorio

El tiempo (y los relojes) en un campo gravitatorio discurre de manera distinta en función de la altura a la que se encuentra el observador que lo mide.

Biblio

Capítulo 6. Sección 6.3 de [Har] Gravity. An Introduction to Einstein’s General Relativity. James B. Hartle. 2003 Pearson Education.

Capítulo 7. Sección 7.5 de [Rin] Essential Relativity. Wolfgang Rindler. 1979 Springer-Verlag.


Una de las primeras consecuencias del Principio de Equivalencia (EP) formulado por Einstein es la dilatación gravitatoria del tiempo. Lo que significa esta expresión es lo siguiente: el discurrir del tiempo para dos relojes idénticos situados a diferentes alturas dentro de un campo gravitatorio es, también, distinto.

Para demostrarlo vamos a efectuar un experimento mental. Supongamos que la observadora Alicia (A, alta) está en el morro de un cohete de altura h que se encuentra estático en la superficie terrestre y que el observador Bernardo (B, bajo) se encuentra en la cola de dicha nave espacial. A efectos prácticos podemos asumir que el campo gravitatorio es constante. (Esto se puede hacer cuando h tiene un valor del orden de 10 metros. Véase un poco más adelante sobre las aproximaciones en esta lección.)

El EP nos garantiza que toda la física que podamos realizar en dicho cohete será la misma que hagamos cuando el cohete se encuentra acelerado respecto de un sistema inercial con aceleración constante g. Supongamos que Alicia emite señales de luz separadas por un intervalo de tiempo \Delta \tau_A tal y como las mide un reloj solidario con ella. La cuestión entonces sería: ¿cuál es la separación temporal \Delta \tau_B que observa Bernardo cuando le llegan las señales? (Bernardo mide el tiempo con un reloj idéntico al de Alicia pero solidario con su posición.)

Observemos que, entonces, el EP implica que Bernardo debe recibir las señales en intervalos menores de tiempo, esto es, a mayor frecuencia que cuando fueron emitidas. (Por dicho motivo, a este fenómeno se le conoce también como efecto Doppler gravitatorio.) Esto es sencillo de comprobar intuitivamente ya que Bernardo está acelerando hacia las señales que le vienen: de alguna forma Bernardo se abalanza sobre ellas acortando el tiempo que tienen que viajar por lo que su frecuencia aumenta.


¿Qué ocurre a nivel cuantitativo?

Supongamos por simplicidad que el cohete está acelerando en un sistema inercial a lo largo del eje z. La posición de Bernardo en la cola sería

(1)   \begin{equation*} z_B(t)=\frac{1}{2}gt^2 \end{equation*}

donde elegimos el origen de z para que coincida con la posición de Bernardo en el instante t=0. En estas condiciones la posición de Alicia en el morro del cohete vendría dada por la expresión

(2)   \begin{equation*} z_A(t)=h+\frac{1}{2}gt^2. \end{equation*}

Consideremos la emisión de dos pulsos de luz o señales de forma sucesiva por parte de Alicia y la recepción hecha por Bernardo de ambos. Supongamos que el primer pulso se emite en t=0 y se recibe en t_1. Supongamos también que el segundo pulso se emite en el instante \Delta \tau_A mientras que se recibe en t_1 +\Delta \tau_B. La secuencia sería algo así:

Si observamos con atención tenemos cuatro eventos a considerar: emisión #1, recepción #1, emisión #2 y recepción #2. La cronología de los mismos no está fijada por completo ya que bien podría ocurrir que la emisión #2 sucediera antes que la recepción #1. Eso no altera las cuentas que vamos a realizar a continuación. No obstante, sí debemos resaltar que las emisiones deben producirse antes que las recepciones. (Las causas preceden a los efectos.)

La distancia que recorre el pulso #1 en nuestro esquema viene dada por

(3)   \begin{equation*} z_A(0)-z_B(t_1)=ct_1 \end{equation*}

mientras que la recorrida por el pulso #2 es

(4)   \begin{equation*} z_A(\Delta \tau_A)-z_B(t_1+\Delta \tau_B)=c(t_1+\Delta \tau_B-\Delta \tau_A). \end{equation*}

A continuación, hacemos unas cuentas a mano:

El EP afirma que los resultados de este experimento serían los mismos para un cohete situado en la superficie terrestre con gravedad (uniforme) g. Recordemos ahora la función potencial que viene dada por la expresión

    \[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]

siendo G la constante de gravitación universal, M la masa de la Tierra y r la distancia al centro de masas de la misma. Por otro lado, el valor de la gravedad terrestre g viene dado por

    \[ g=\frac{GM}{r^2}. \]

Se sigue entonces que

(5)   \begin{equation*} \Phi_A-\Phi_B = -\frac{GM}{r_A} + \frac{GM}{r_B}=(r_A-r_B)\frac{GM}{r_Ar_B} \end{equation*}

donde r_A (resp. r_B) es la altura a la que se encuentra Alicia (resp. Bernardo) y \Phi_A (resp. \Phi_B) es el potencial gravitatorio en r_A (resp. r_B). En la expresión (5) escribimos h=r_A-r_B para la altura del cohete y tomamos r_A \equiv r_B como valor uniforme de la gravedad terrestre. Así nos queda finalmente la siguiente expresión:

(6)   \begin{equation*} \nu_B=(1 + \frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2})\nu_A. \end{equation*}

¿Qué consecuencias extraemos de esta última expresión? En nuestro caso, r_A>r_B por lo que \Phi_A>\Phi_B. Así la frecuencia observada por Bernardo mayor que la emitida por Alicia. Se produce así un corrimiento al azul gravitacional.

Análogamente en esta discusión podemos intercambiar los roles de Alicia y Bernardo y llegaríamos a la misma ecuación (6) pero con r_A<r_B. Entonces las señales emitidas por Alicia las recibiría Bernardo (a mayor altura) desplazadas hacia el rojo.


Ejemplo: el vecino de arriba envejece más rápido

¿Pueden apreciarse estos efectos a escalas normales? Supongamos que vivimos en el entresuelo de un edificio de 10 plantas en la Gran Vía de Murcia. Nuestro vecino vive 30 metros más arriba que nosotros y se encuentra en las mismas condiciones físicas porque entrenamos juntos. Por tanto, nuestros corazones laten al mismo ritmo cuando estamos juntos. Sin embargo, el vecino por vivir en la última planta tiene un pulso más acelerado. ¿Cuánto? La respuesta es

    \[ 1+\frac{(9.8 \text{m/s}^2)(30 \text{m})}{(3 \times 10^8 \text{m/s})^2}, \]

que difiere de la unidad a partir del decimocuarto decimal. Así pues el vecino de arriba se hace viejo más rápido aunque tenga mejores vistas. Con algo hay que consolarse.

Nota

Este argumento puede efectuarse utilizando la ecuación (9) manuscrita para los tiempos experimentados \tau_A y \tau_B por Alicia y Bernardo. Las conclusiones a las que se llegan son las mismas, aunque en este caso cuando para el vecino de arriba ha pasado un tiempo \tau_A, para el vecino del entresuelo ha transcurrido un tiempo \tau_B<\tau_A por lo que es algo más joven.


Sobre las aproximaciones en esta lección

En esta lección estamos utilizando los siguientes valores:

    \begin{eqnarray*} G & = & 6,67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2,\\ M & = & 5,97 \times 10^{24} \text{ kg y}  \\ r & = & 6,47 \times 10^6 \text{ m.} \end{eqnarray*}

Teniendo esto presente podemos preguntarnos por la magnitud de, por ejemplo, la fracción gh/c^2. Así se tiene

    \[ \frac{gh}{c^2}\equiv\frac{10\times 10}{(3 \times 10^8)^2}\equiv 10^{-15}  \]

por lo que estamos hablando del orden de femtosegundos en la fórmula (9) manuscrita. Recordemos aquí que, a día de hoy, los mejores relojes atómicos tienen una precisión que alcanza los nanosegundos, esto es, un orden próximo a los 10^{-9} por lo que parece totalmente justificado prescindir de los términos de orden superior en la deducción de la ecuación (10) manuscrita. Estos términos son del orden 10^{-30} por lo que pueden ser obviados en la discusión.

Análogamente podemos estudiar la bondad de la aproximación utilizada en (5). En ella admitimos que r_A \equiv r_B como valor uniforme de la gravedad terrestre. Veamos que esta simplificación está justificada en la siguiente cuenta manuscrita.


¿Qué ocurre con alturas arbitrarias?

En nuestro análisis hemos utilizado que la altura h de la nave era pequeña en comparación con el radio terrestre. (Digamos que h era del orden de 10^2 metros como mucho.) Esta restricción puede ser eliminada y podemos trabajar para cualquier altura y la ecuación (6) sigue siendo válida. Para demostrarlo utilizamos de nuevo unas cuentas manuscritas y un argumento sencillo de ecuaciones en diferencias.


Altura arbitraria. Argumento formal.

El anterior argumento en el que usábamos ecuaciones en diferencias puede mejorarse utilizando cálculo integral. Lo que vamos a hacer en esta sección es encontrar una ecuación diferencial ordinaria (en variables separadas) que relaciona el potencial \phi con la frecuencia \nu. Resolvemos la ecuación diferencial y la solución exacta veremos que aproxima, hasta el primer orden de magnitud, a lo que ya conocemos por la anterior sección. No obstante, ésta es una mucho mejor expresión que utilizaremos posteriormente cuando queramos determinar la constante de integración que aparece al final de la solución de Schwarzschild.

Deja una respuesta