Rasgos básicos del GPS
El sistema GPS incluye 24 satélites en órbita circular alrededor de la Tierra con período orbital de 12 horas. Los satélites se distribuyen en 6 planos orbitales y éstos están separados con el mismo ángulo. Cada satélite transporta un reloj atómico y emite señales de radio en las que codifica tanto su tiempo como su posición.
Analizando las señales de, al menos, cuatro de estos satélites, un receptor en la superficie terrestre con su microprocesador interno puede calcular su localización: latitud, longitud y altitud. Además, puede corregir su reloj para que esté continuamente sincronizado con los relojes atómicos de los satélites. (Véase la clase anterior.)
Los receptores de uso común tienen el tamaño de una calculadora, cuestan unos cientos de euros y una precisión horizontal del orden de 25 metros. Originalmente las señales del satélite contenían un ruido intencionado para hacer los receptores civiles poco precisos. Los receptores militares podían descodificar y eliminar dicho ruido. Desde la primavera del año 2000 esta peculiaridad fue eliminada. El sistema GPS ha revolucionado muchas áreas de la experiencia humana como la conducción, el vuelo, la exploración, la montaña, el rescate, la topografía y la geología.
La precisión en las medidas del tiempo que requiere el sistema GPS es tan alta que los efectos relativistas son vitales para su buen funcionamiento. Ya vimos en la clase anterior que los relojes funcionan de manera diferente según su posición en un campo gravitatorio. Además, tanto el satélite como el receptor en la Tierra tienen una velocidad relativa por lo que debemos tener presente el efecto de la relatividad especial y la dilatación del tiempo.
La importancia de sincronizar los relojes
En el operativo del GPS necesitamos que los relojes estén sincronizados. Para ello lo mejor es basarnos en el siguiente esquema:
Relojes estacionarios a diferentes alturas
En la lección Relojes en un campo gravitatorio elaboramos una estimación sobre la diferencia entre dos relojes que se encuentran situados a diferentes alturas dentro de un campo gravitatorio. La ecuación que obtuvimos fue
(1)
donde (resp.
) representaba la frecuencia que mide Alicia a mayor altura (resp. Bernardo a menor altura). Si identificamos la A de Alicia con el satélite, la B de Bernardo con el receptor GPS en la tierra y tomamos los inversos de las frecuencias, tendríamos ahora
(2)
donde ahora (resp.
) denota el tiempo transcurrido entre dos tics sucesivos en el satélite (resp. entre la recepción de esos dos tics en la superficie terrestre). Vamos a estimar cuánto es exactamente esta diferencia de tiempo. Para ello, recordemos que
Por otra parte, necesitamos saber la altura a la que se desplaza el satélite. La fuerza de la gravedad que actúa sobre el satélite se iguala con la fuerza centrífuga por lo que
siendo la masa del satélite y
su velocidad lineal. Despejamos ahora
y obtenemos
Por otro lado, cuando el satélite completa una vuelta alrededor de la tierra se cumple
Como horas tenemos el sistema
del que se obtiene que
Hacemos algunas cuentas más. Para el potencial del satélite se tiene
mientras que para el potencial del receptor se llega a
(3)
¿Qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que pasa los dos relojes tienen una diferencia del orden de la mitad de un nanosegundo. A lo largo de un día transcurren unos 100.000 segundos por lo que se acumula un error de 50.000 nanosegundos grosso modo. Si cada nanosegundo supone un error de 0,3 metros, entonces estaremos cometiendo un error global en el día acumulado de 15 kilómetros. Completamente inadmisible.
A continuación veamos en un esquema cuál es la situación descrita en estas últimas cuentas.
Relojes en movimiento relativo a la misma altura
Tal y como explicamos en la clase anterior la relación entre el tiempo transcurrido en el satélite y el tiempo observado por el receptor
está dada por
o equivalentemente
Para estimar el valor de esta cantidad haremos una aproximación por Taylor en el valor de de suerte que
donde no tenemos en cuenta los términos de orden mayor o igual que dos en la variable . (Obsérvese que
es del orden
.) Si ahora introducimos los valores de
y
en la anterior expresión llegamos a
(4)
De nuevo, ¿qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que transcurre en el satélite, el observador terrestre mide algo más de un segundo. Comparando la ecuación (3) con (4) se deduce que el efecto gravitatorio es del orden 5 veces mayor que el efecto dado por la diferencia de velocidades y de signo contrario.
Veamos ahora un esquema de cuál es la situación en un diagrama espacio-tiempo.
Otros efectos a tener en cuenta
El sistema GPS es muy complejo y existen otros muchos factores a tener en cuenta. En la bibliografía aportada puede consultarse la gran cantidad de aspectos técnicos que hay involucrados. En nuestro análisis, a muy bajo coste, podríamos hablar también de la velocidad de rotación terrestre que es del orden de 470 metros por segundo en el ecuador, unas 10 veces inferior a la velocidad del satélite.
No obstante, con los efectos ya explicados de la relatividad especial y general pensamos que ya hemos justificado suficientemente el por qué deben ser tenidos en cuenta a la hora de mantener operativo el sistema.
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[…] la próxima clase veremos con más detalle con funciona exactamente el sistema, cómo mide el tiempo el receptor y […]