En la geometría plana de Euclides los procedimientos básicos para medir longitudes, áreas y ángulos descansan en el producto escalar o interior dado por
A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido de esta geometría es que las longitudes y los ángulos no cambian si sometemos el plano a una rotación de ángulo arbitrario . Como consecuencia inmediata, sabemos que dichas rotaciones aplican las circunferencias de la forma
sobre sí mismas.
Un último aspecto interesante es que, dados unos ejes y una escala definida sobre ellos, podemos considerar ahora una rotación. Dicha rotación nos proporciona unos nuevos ejes y la escala de éstos se obtiene simplemente utilizando las circunferencias para calibrarlos.
La norma de Minkowski
Esta es la aproximación utilizada por Minkowski en el año 1907 que tanto disgustó a Einstein.
Consideremos ahora una transformación de Lorentz que relaciona dos sistemas de coordenadas
y
. Se tiene entonces el siguiente resultado.
La (sencilla) demostración de este hecho la tenéis en esta parte manuscrita.
Este resultado nos sugiere lo siguiente en relación a las medidas del plano : en lugar de trabajar con el producto escalar habitual podemos considerar ahora el que está dado por
A partir de dicho producto escalar (lorentziano) se define la norma (al cuadrado) de Minkowski de un vector como
Diremos que un vector es temporal cuando su norma al cuadrado sea negativa. Diremos también que un vector es espacial si su normal al cuadrado es positiva. Finalmente, diremos que un vector es luminoso (o nulo) si su norma al cuadrado es cero.
Finalmente, se define la norma de Minkoski como
Desde ahora nos pondremos (algo más) rigurosos con el tema matemático. Contemplaremos el plano como un plano afín en el que los protagonistas son los puntos. Dados dos puntos (ordenados)
y
podemos considerar el vector que determinan ambos dado por
y se tiene así la siguiente definición:
Ángulos hiperbólicos y rotaciones
Vamos a definir en esta sección el ángulo hiperbólico que determinan dos vectores temporales en el mismo cono temporal. El propósito de estas cuentas es sentar las bases para definir el concepto de tiempo propio y para deducir algunas de sus propiedades más importantes.
En primer lugar observamos que, siendo (o
) aplicaciones continuas deben llevar conexos a conexos. Más aún, sabemos que las rotaciones hiperbólicas
preservan cada uno de los seis conjuntos anteriores que hemos definido. En particular, llevan vectores temporales del cono futuro a vectores temporales del cono futuro. Por comodidad vamos a escribir
y lo llamaremos el futuro de
.
La prueba de este resultado ya la tenemos pues es claramente biyectiva con inversa
y además preserva los vectores temporales futuro.
Consideremos ahora dos rayos y
que apuntan al futuro. Cada uno de ellos interseca la hipérbola
en un punto. Se define entonces el ángulo hiperbólico de la siguiente forma:
Obsérvese que el ángulo hiperbólico tiene signo por lo que .
Para terminar con esta sección debemos observar que la analogía entre el ángulo hiperbólico y el ángulo usual de la geometría de Euclides es total. De hecho, el valor de mide la longitud de la hipérbola y es, en el sentido que conocéis de la geometría de tercero, el parámetro arco de dicha curva si utilizamos como producto escalar el producto de Minkowski. Esto lo demostraremos en breve.
La desigualdad triangular inversa
No nos debe sorprender que muchas de las leyes geométricas que hemos dado por firmes se resquebrajen con esta nueva geometría. Una de las rupturas más notables es la que explicamos en las siguientes notas manuscritas.