La geometría de Minkowski

En la geometría plana de Euclides los procedimientos básicos para medir longitudes, áreas y ángulos descansan en el producto escalar o interior dado por

    \[ \vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2. \]

A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido de esta geometría es que las longitudes y los ángulos no cambian si sometemos el plano a una rotación de ángulo arbitrario \theta. Como consecuencia inmediata, sabemos que dichas rotaciones aplican las circunferencias de la forma x^2+y^2=r^2 sobre sí mismas.

Un último aspecto interesante es que, dados unos ejes y una escala definida sobre ellos, podemos considerar ahora una rotación. Dicha rotación nos proporciona unos nuevos ejes y la escala de éstos se obtiene simplemente utilizando las circunferencias para calibrarlos.

La norma de Minkowski

Esta es la aproximación utilizada por Minkowski en el año 1907 que tanto disgustó a Einstein.

Consideremos ahora una transformación de Lorentz B_v que relaciona dos sistemas de coordenadas S y S'. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Teorema

Las transformaciones de Lorentz preservan las hipérbolas del plano (x,t) de suerte que aplican la hipérbola x^2-t^2=\pm r^2 sobre sí misma.

La (sencilla) demostración de este hecho la tenéis en esta parte manuscrita.

Este resultado nos sugiere lo siguiente en relación a las medidas del plano (x,t): en lugar de trabajar con el producto escalar habitual podemos considerar ahora el que está dado por

    \[ \vec{v}\cdot\vec{w}=v_xw_x-v_tw_t. \]

A partir de dicho producto escalar (lorentziano) se define la norma (al cuadrado) de Minkowski de un vector \vec{v} como

    \[ v_x^2-v_t^2. \]

Diremos que un vector es temporal cuando su norma al cuadrado sea negativa. Diremos también que un vector es espacial si su normal al cuadrado es positiva. Finalmente, diremos que un vector es luminoso (o nulo) si su norma al cuadrado es cero.

Finalmente, se define la norma de Minkoski como

Desde ahora nos pondremos (algo más) rigurosos con el tema matemático. Contemplaremos el plano (x,t) como un plano afín en el que los protagonistas son los puntos. Dados dos puntos (ordenados) E_1 y E_2 podemos considerar el vector que determinan ambos dado por E_2-E_1 y se tiene así la siguiente definición:

Definición

Dados dos eventos E_1 y E_2 en el plano (x,t) se define la separación entre E_1 y E_2 como el vector E_2-E_1 y se define el intervalo entre E_1 y E_2 como la norma de Minkowski del vector E_2-E_1. Más aún, diremos que el intervalo es temporal, espacial o luminoso si la separación es un vector temporal, espacial o luminoso respectivamente.

Ejercicio

Demuestra el anterior resultado utilizando la forma B_v para una transformación de Lorentz en lugar de la forma rotación hiperbólica H_u.

Ángulos hiperbólicos y rotaciones

Vamos a definir en esta sección el ángulo hiperbólico que determinan dos vectores temporales en el mismo cono temporal. El propósito de estas cuentas es sentar las bases para definir el concepto de tiempo propio y para deducir algunas de sus propiedades más importantes.

En primer lugar observamos que, siendo H_u (o B_v) aplicaciones continuas deben llevar conexos a conexos. Más aún, sabemos que las rotaciones hiperbólicas H_u preservan cada uno de los seis conjuntos anteriores que hemos definido. En particular, llevan vectores temporales del cono futuro a vectores temporales del cono futuro. Por comodidad vamos a escribir \cal{F}=\cal{T}_+ y lo llamaremos el futuro de O=(0,0).

Teorema

Para cada número real u, la aplicación H_u lleva \cal{F} en sí misma de forma biyectiva.

La prueba de este resultado ya la tenemos pues H_u es claramente biyectiva con inversa H_{-u} y además preserva los vectores temporales futuro.

Ejercicio

El conjunto \cal{F} es cerrado para la suma y la multiplicación por escalares positivos.

Consideremos ahora dos rayos \rho_1 y \rho_2 que apuntan al futuro. Cada uno de ellos interseca la hipérbola t^2-x^2=1 en un punto. Se define entonces el ángulo hiperbólico de la siguiente forma:

Obsérvese que el ángulo hiperbólico tiene signo por lo que \angle \rho_1 \rho_2 = -\angle \rho_2 \rho_1.

Para terminar con esta sección debemos observar que la analogía entre el ángulo hiperbólico y el ángulo usual de la geometría de Euclides es total. De hecho, el valor de u mide la longitud de la hipérbola y es, en el sentido que conocéis de la geometría de tercero, el parámetro arco de dicha curva si utilizamos como producto escalar el producto de Minkowski. Esto lo demostraremos en breve.

La desigualdad triangular inversa

No nos debe sorprender que muchas de las leyes geométricas que hemos dado por firmes se resquebrajen con esta nueva geometría. Una de las rupturas más notables es la que explicamos en las siguientes notas manuscritas.

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