La física vista desde la geometría de Minkowski

Vamos a revisar algunos fenómenos de la relatividad especial a la luz de la geometría de Minkowski. Veremos entonces que no es necesario elaborar complejos argumentos y sofisticados experimentos mentales para demostrar que el espacio y el tiempo son relativos.

El futuro objetivo

Dado un sistema $S$ con coordenadas $(x,t)$ nos podríamos preguntar, ¿cuál es el futuro del evento $O=(0,0)$ ? En otras palabras, ¿cuáles son los eventos que ocurren después del evento $O$ ? Una respuesta plausible podría ser que un evento $E$ ocurre más tarde que $O$ si $t>0$ . Sin embargo, otro observador $S'$ en configuración estándar con coordenadas $(x',t')$ puede llegar a conclusiones bien distintas para ese mismo evento $E$ . (De hecho, según la situación de $E$ , el observador $S'$ podría decir tanto que está en el futuro, como que está en el pasado. Buscar un ejemplo de esto.)

La cuestión que surge inmediatamente es: ¿existe alguna manera objetiva de definir el futuro de $O$ ? ¿Puede hacerse una definición que no dependa de las coordenadas escogidas? La respuesta es afirmativa y se tiene la siguiente definición:

Definición

Dado un evento $O$ , se define el futuro objetivo de dicho evento como el conjunto $\cal{F}$ dado por todos los eventos $E$ tales que el vector $E-O$ es un vector temporal que apunta al futuro.

Observemos que se trata de una buena definición ya que los conceptos involucrados no dependen de las coordenadas escogidas. Geométricamente el futuro de $O$ se corresponde con la parte superior del cono temporal cuyo vértice está en $O$ . El pasado objetivo de $O$ puede definirse de manera análoga.

Causalidad

Un principio lógico-filosófico que debemos aceptar a la hora de hacer ciencia es la asunción de que las causas preceden a los efectos. Si un evento $A$ causa o influye en el evento $B$ , entonces $A$ debe ocurrir antes que $B$ . Como este principio debe ser algo objetivo y válido para todo observador, entonces $B$ debe estar en el futuro objetivo de $A$ . De forma análoga, $A$ debe estar en el pasado objetivo de $A$ . Este hecho inspira la siguiente definición:

Definición

Dado un evento $O$ , se define el futuro causal de dicho evento como el conjunto de todos los eventos que pueden ser influenciados por $O$ . Se define asimismo el pasado causal de $O$ como todos los eventos que pueden influenciar a $O$ .

Notemos que futuro causal y futuro objetivo son el mismo conjunto. Lo mismo sucede con pasado causal y pasado objetivo. De ahora en adelante siempre hablaremos de futuro (y pasado) causal ya que es un término mucho más aceptado.

Pregunta

Supongamos que existiera un objeto que se mueve a mayor velocidad que 1. ¿Qué implicaciones tendría sobre la causalidad?

Simultaneidad

Dado un sistema $S$ con coordenadas $(x,t)$ se tiene la siguiente propiedad:

Proposición

Dado un evento espacial $E$ arbitrario siempre es posible encontrar un observador para el que $E$ y $O$ son simultáneos.

Demostración. Como $E$ es espacial siempre podemos escribir en $S$ -coordenadas el evento $E$ como

$E=(x,t)=(kchu,kshu)$

para un número real $k$ . Sea ahora $S'$ otro sistema en configuración estándar con velocidad relativa $v$ donde $v$ es precisamente el valor

$v=thu.$

Entonces se tiene que $E$ y $O$ son $S'$ -simultáneos. (Ejercicio. Más aún, esta demostración también puede hacerse de forma artesanal con pendientes de rectas utilizando las coordenadas $(x,t)$ . ¿Os animáis?)

La dilatación del tiempo

Supongamos que $S'$ transporta un reloj y se mueve a velocidad $v$ respecto de $S$ con velocidad $v$ relativa a $S$ . Dicho reloj marca el tiempo propio de $S'$ en el sentido de que es su propio tiempo, el que experimenta dicho observador. La pregunta es: ¿cómo mide el observador $S$ el tiempo propio de $S'$ ?

Sea $E=(t_0,0)$ un evento expresado en $S'$ -coordenadas que ocurre, evidentemente, en la línea del universo del observador $O'$ .