La física vista desde la geometría de Minkowski

Vamos a revisar algunos fenómenos de la relatividad especial a la luz de la geometría de Minkowski. Veremos entonces que no es necesario elaborar complejos argumentos y sofisticados experimentos mentales para demostrar que el espacio y el tiempo son relativos.


El futuro objetivo

Dado un sistema S con coordenadas (x,t) nos podríamos preguntar, ¿cuál es el futuro del evento O=(0,0)? En otras palabras, ¿cuáles son los eventos que ocurren después del evento O? Una respuesta plausible podría ser que un evento E ocurre más tarde que O si t>0. Sin embargo, otro observador S' en configuración estándar con coordenadas (x',t') puede llegar a conclusiones bien distintas para ese mismo evento E. (De hecho, según la situación de E, el observador S' podría decir tanto que está en el futuro, como que está en el pasado. Buscar un ejemplo de esto.)

La cuestión que surge inmediatamente es: ¿existe alguna manera objetiva de definir el futuro de O? ¿Puede hacerse una definición que no dependa de las coordenadas escogidas? La respuesta es afirmativa y se tiene la siguiente definición:

Definición

Dado un evento O, se define el futuro objetivo de dicho evento como el conjunto \cal{F} dado por todos los eventos E tales que el vector E-O es un vector temporal que apunta al futuro.

Observemos que se trata de una buena definición ya que los conceptos involucrados no dependen de las coordenadas escogidas. Geométricamente el futuro de O se corresponde con la parte superior del cono temporal cuyo vértice está en O. El pasado objetivo de O puede definirse de manera análoga.

Causalidad

Un principio lógico-filosófico que debemos aceptar a la hora de hacer ciencia es la asunción de que las causas preceden a los efectos. Si un evento A causa o influye en el evento B, entonces A debe ocurrir antes que B. Como este principio debe ser algo objetivo y válido para todo observador, entonces B debe estar en el futuro objetivo de A. De forma análoga, A debe estar en el pasado objetivo de A. Este hecho inspira la siguiente definición:

Definición

Dado un evento O, se define el futuro causal de dicho evento como el conjunto de todos los eventos que pueden ser influenciados por O. Se define asimismo el pasado causal de O como todos los eventos que pueden influenciar a O.

Notemos que futuro causal y futuro objetivo son el mismo conjunto. Lo mismo sucede con pasado causal y pasado objetivo. De ahora en adelante siempre hablaremos de futuro (y pasado) causal ya que es un término mucho más aceptado.

Pregunta

Supongamos que existiera un objeto que se mueve a mayor velocidad que 1. ¿Qué implicaciones tendría sobre la causalidad?

Simultaneidad

Dado un sistema S con coordenadas (x,t) se tiene la siguiente propiedad:

Proposición

Dado un evento espacial E arbitrario siempre es posible encontrar un observador para el que E y O son simultáneos.

Demostración. Como E es espacial siempre podemos escribir en S-coordenadas el evento E como

    \[ E=(x,t)=(kchu,kshu) \]

para un número real k. Sea ahora S' otro sistema en configuración estándar con velocidad relativa v donde v es precisamente el valor

    \[ v=thu. \]

Entonces se tiene que E y O son S'-simultáneos. (Ejercicio. Más aún, esta demostración también puede hacerse de forma artesanal con pendientes de rectas utilizando las coordenadas (x,t). ¿Os animáis?)


La dilatación del tiempo

Supongamos que S' transporta un reloj y se mueve a velocidad v respecto de S con velocidad v relativa a S. Dicho reloj marca el tiempo propio de S' en el sentido de que es su propio tiempo, el que experimenta dicho observador. La pregunta es: ¿cómo mide el observador S el tiempo propio de S'?

Sea E=(t_0,0) un evento expresado en S'-coordenadas que ocurre, evidentemente, en la línea del universo del observador O'.


La contracción de las longitudes

Deja una respuesta