Cinemática y dinámica relativista

El estudio del movimiento de los cuerpos se consolida con las conocidas leyes de Newton del movimiento que todo buen estudiante de secundaria conoce. Las recordamos:

1. Cada cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento uniforme a lo largo de una línea recta a menos que una fuerza actúe sobre el mismo.

2. El cambio de velocidad (aceleración) es proporcional a la fuerza resultante aplicada sobre el cuerpo.

3. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste efectúa la misma fuerza en sentido contrario sobre el primero.

La primera ley de Newton ya era conocida por Galileo y se conoce como la ley de la inercia. La ley nos dice que cada cuerpo tiene inercia siendo ésta la resistencia que presenta dicho cuerpo a cambiar su velocidad o estado de movimiento natural.

Como un cuerpo tiene inercia es razonable preguntarnos, ¿cuánta tiene? ¿Es la misma para todos? Los que hemos jugado al fútbol ya sabemos que no 😉 (Aplicable también a los que hacen balonmano, baloncesto y cualquier deporte de contacto.)

La respuesta precisa nos la da el concepto de masa inercial. Este valor es precisamente la constante de proporcionalidad de la segunda ley. Así pues, si hacemos actuar la misma fuerza sobre dos cuerpos y uno de ellos acelera el doble, eso significa que tiene la mitad de masa que el otro.

La segunda ley también puede enunciarse en términos del momento lineal. Recordemos que el momento de un cuerpo de masa $m$ que se mueve a velocidad $\textbf{v}$ viene dado por $\textbf{p}=m\textbf{v}$ . (Usaremos negritas en minúscula para vectores del 3-espacio euclídeo clásico.) Entonces la segunda ley, asumiendo que $m$ es constante, puede expresarse en los siguientes términos:

$\textbf{f}=\frac{d\textbf{p}}{dt}=\frac{dm\textbf{v}}{dt}.$

Por otra parte, la tercera ley nos permite deducir uno de los principios fundamentales de la mecánica: el momento total de un sistema siempre se conserva. (Principio de conservación del momento lineal.)

La prueba de esta afirmación es bien sencilla: para simplificar consideremos un sistema con dos masas dadas por $m_1$ y $m_2$ . Sea $\textbf{f}_{12}$ la fuerza que el cuerpo $m_1$ ejerce sobre el $m_2$ y sea $\textbf{f}_{21}$ la fuerza que ejerce $m_2$ sobre $m_1$ . La tercera ley nos garantiza que

$\textbf{f}_{12}=-\textbf{f}_{21}.$

Ahora bien, como

$\frac{d\textbf{p}_2}{dt}=\textbf{f}_{12}=-\textbf{f}_{21}=\frac{d\textbf{p}_1}{dt}$

entonces resulta finalmente que

$\frac{d(\textbf{p}_1+\textbf{p}_2)}{dt}=0$

lo que implica que la suma total del momento es constante y se conserva.

Masa relativista

No sólo conceptos como espacio y tiempo resultan ser relativos en la teoría de Einstein. Otro tanto ocurre con la masa inercial de un objeto. Vamos a demostrar que ésta aumenta conforme el objeto adquiere velocidad hasta el punto de que imposibilita que dicho objeto alcance la velocidad de la luz.

Para ello comenzamos con un ejemplo que trata sobre una colisión perfectamente inelástica de dos masas. (Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que los dos cuerpos quedan unidos después del choque y no hay pérdidas de energía por deformación.)

Momento lineal

Acabamos de ver que la relatividad especial es incompatible con uno de los principios más verificados de la física clásica que es la ley de conservación del momento lineal. Por tanto, debemos revisar bien la relatividad especial bien la definición de momento lineal. Lo hacemos en estas notas manuscritas.

Observación: en las notas manuscritas utilizaremos $(t,x)$ en lugar de $(x,t)$ como es habitual. Nada cambia al respecto.