El experimento de Michelson-Morley

Explicación del experimento de Michelson-Morley primero en base a una analogía sencilla y luego con el aparato propiamente dicho. También presentamos algunas de las consecuencias directas.

Biblio

Differential Geometry and Relativity Theory. An introduction.
Richard L. Faber. Marcel Dekker. 1983. Capítulo 3.

En esta lección vamos a describir el experimento de Michelson-Morley que realizaron en el año 1887 con el objetivo de detectar el movimiento de la Tierra en relación al éter. Tratándose de velocidades muy elevadas la dificultad implicada era enorme por lo que diseñaron un artefacto que llamaron interferómetro y que se basa en el fenómeno de la difracción, un aspecto característico de todas las ondas en general y de las electromagnéticas en particular. Para entender la idea que hay detrás del experimento es conveniente atender al siguiente esquema:

En él vemos, de forma esquemática, cómo funciona el experimento. La luz monocromática proviene de una fuente de luz a la izquierda del dibujo. Ésta se dirige hasta el centro del aparato donde se encuentra un espejo semi-reflector (o semi-transparente, como se prefiera) que desvía la mitad de la luz hacia el espejo M_2 y la otra mitad hacia el espejo M_1. Ambos haces de luz rebotan en dichos espejos situados en los extremos de los brazos y regresan al centro donde el espejo semi-reflector los dirige hacia abajo donde está la pantalla y/o telescopio para observarlos.

Como el aparato se está moviendo en relación al éter, éste siente el viento del éter de modo que la velocidad de la luz – que debe ser constante siempre en relación al éter – cambia para el sistema de referencia solidario con el aparato.

Si L_1 y L_2 son las longitudes de los brazos #1 y #2 del interferómetro de Michelson-Morley y si, inicialmente, el brazo #1 está paralelo a la dirección del viento del éter y el brazo #2 está perpendicular a dicho viento, entonces se puede demostrar que el tiempo empleado por los rayos de luz es

    \[ t_1=\frac{2L_1}{c}\left(1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-1}\approx \frac{2L_1}{c}\left(1+\frac{v^2}{c^2} \right) \]

para el brazo #1 mientras que es

    \[ t_2=\frac{2L_2}{c}\left(1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2}\approx \frac{2L_2}{c}\left(1+\frac{v^2}{2c^2} \right) \]

para el #2.

Nota: debemos aplicar el desarrollo binomial

    \[ (1-x)^m \approx 1-mx \]

ya que v^2/c^2 \approx 10^{-8} y los términos de mayor orden son despreciables en nuestro análisis.

Para entender de dónde obtenemos estos tiempos es de gran ayuda atender a la siguiente analogía fluvial. Consideremos un piragüista P que es capaz de remar en aguas tranquilas a una velocidad de c metros por segundo. A este piragüista le planteamos una competición en un río cuya corriente tiene una velocidad de v metros por segundo respecto de la orilla. La competición consiste en recorrer 1 kilómetro a favor de corriente y regresar a contracorriente hasta el punto de partida.

¿A qué velocidad se desplaza el piragüista P en ambos trayectos? Está claro que, a favor de corriente y para un observador situado en la ribera, su velocidad es c+v mientras que, a contracorriente, su velocidad en relación a la orilla del río, es c-v. (Obsérvese que estamos asumiendo aquí c-v>0 pues, en caso contrario c<v y la corriente del río arrastra al piragüista río abajo y le impide completar el circuito.)

Una vez conocida la velocidad podemos deducir el tiempo empleado en ambos viajes. Así en el viaje a favor de corriente tendríamos que el tiempo empleado es

    \[ t_1^1=\frac{1}{c+v} \]

mientras que a contracorriente se tendría

    \[ t_1^2=\frac{1}{c-v}. \]

Finalmente, el tiempo total empleado la competición sería la suma de ambos:

    \[ t_1=t_1^1+t_1^2=\frac{2}{c}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

Supongamos ahora que el río tiene una anchura de un kilómetro y le planteamos a nuestro piragüista una nueva carrera: ahora debe atravesar el río en perpendicular a la corriente y alcanzar la otra orilla. A continuación, debe regresar al mismo punto de partida. En esta ocasión el esquema sería algo así:

La cuestión ahora es: ¿a qué velocidad debe remar el piragüista para alcanzar la otra orilla exactamente en el punto que tiene enfrente al comenzar? Echamos un vistazo al dibujo y comprendemos que, para remar en perpendicular a la corriente, el módulo de la velocidad debe ser \sqrt{c^2-v^2} con independencia de si va en un sentido o en otro. Como la distancia total recorrida son 2 kilómetros y la velocidad (el módulo) es constante en ambos casos se tiene entonces que el tiempo empleado en la ida y en la vuelta es

    \[ t_2=\frac{2}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

donde hemos sacado factor común c^2 en la raíz para poder comparar con los tiempos anteriormente calculados. Así pues, podemos concluir haciendo la diferencia de tiempos que los dos rayos de luz llegan al observador con un desfase dado por

    \[ \Delta t=t_1 -t_2 \approx \frac{2}{c}\left(L_1 - L_2 + \frac{L_1 v^2}{c^2}-\frac{L_2 v^2}{2c^2} \right). \]

A continuación podemos sacar factor común L_1 - L_2 en esta expresión y, en la expresión resultante, comprendemos que los posibles motivos por los que \Delta t \neq 0 (es decir, por los que se puede observar una interferencia) pueden ser dos: 1) porque v \neq 0 (esto es, porque existe el viento del éter promulgado por Newton-Maxwell) o 2) porque L_1 \neq L_2 (es decir, porque los brazos no tienen igual longitud).

Notemos además que ambos no son excluyentes y podrían darse de forma simultánea. Evidentemente, nos gustaría discriminar, distinguir, si la interferencia observada se debe a una causa o a otra. ¿Cómo se puede eliminar esta ambigüedad? ¿Cómo podemos distinguir si la interferencia se debe al éter o a la (más que posible) diferencia de longitud entre los brazos del aparato? La solución propuesta por Michelson-Morley consistió en rotar los dos brazos del aparato 90 grados de modo que intercambiaban sus roles. Si ahora denotamos por t_1' y t_2' los tiempos para L_1 y L_2 entonces calculamos \Delta t'=t_1' -t_2' y se tiene que

    \[ \Delta t - \Delta t' =\frac{v^2}{c^2}\frac{L_1+L_2}{c} \]

La deducción completa de esta fórmula la podéis encontrar en la siguiente página manuscrita aunque es un ejercicio sencillo de hacer:

De esta forma, deducimos que si el patrón de interferencias (el dibujo) en ambas situaciones es idéntico (esto es, si \Delta t = \Delta t') es porque v=0 y no existe el viento del éter. Esto fue realmente lo que se observó en múltiples situaciones, circunstancias y emplazamientos. (Si se desea consultar la referencia original sobre este experimento podéis acceder a ella pinchando aquí.)

Los resultados experimentales

En la versión refinada del experimento llevada a cabo en 1887 Michelson y Morley utilizaron luz monocromática proveniente de una lámpara de sodio cuya longitud de onda era \lambda=6 \times 10^{-7} metros y un interferómetro de brazos con longitudes L_1=L_2=11 metros. El período T de una onda viene dado por la expresión \lambda = cT por lo que tendríamos

    \[ T=\frac{\lambda}{c}=\frac{6 \times 10^{-7}}{3\times 10^{-8}}=2 \times 10^{-15} \quad \text{s.} \]

Si llamamos N al número de ciclos o períodos que entran en el desfase \Delta t - \Delta t' obtendríamos entonces

    \[ N=\frac{\Delta t - \Delta t'}{T}\equiv 0,4 \]

por lo que el patrón de interferencias debería desplazarse un 40 por ciento de la distancia entre bandas consecutivas. En realidad, el desplazamiento observado por Michelson y Morley jamás superó el 1 por ciento de dicha distancia, i.e. N \equiv 0.01.

Reacciones al resultado del experimento

Los resultados negativos encontrados en el experimento de Michelson-Morley llevaron a la comunidad científica a un callejón sin salida. Se formularon diferentes propuestas para resolver el embrollo salvando el esquema clásico de la física. Algunas de ellas son las siguientes:

1. Teorías de Emisión

Algunos científicos apuntaron que, quizás, la velocidad de la luz no era fija con respeto al éter y que dependía de la velocidad de la fuente emisora. Evidentemente si esto era así el experimento quedaba explicado. Sin embargo, se encontraba en clara confrontación con la teoría ondulatoria y con hechos experimentales como las medidas efectuadas sobre la luz proveniente de estrellas dobles.

2. Hipótesis de arrastre el éter.

La idea es que la Tierra, en su avance a través del espacio, arrastra una costra de éter de forma similar a la atmósfera. Así pues, existe una exigua capa de éter solidaria con el sistema Tierra. Evidentemente, esto provocaría que el análisis efectuado para el experimento de Michelson-Morley no tuviera validez alguna. Dicha hipótesis fue también rápidamente descartada debido al conocimiento del fenómeno de la aberración estelar. Así, si miramos por un telescopio ocurre que debemos inclinarlo levemente para poder observar una estrella distante. Esta inclinación está dada por el ángulo

    \[ \theta = \text{arctan}(v/c) \approx v/c \]

siendo v la velocidad orbital de la tierra (30 kilómetros por segundo) y c la velocidad de la luz. (Se tiene que \theta \approx 20.6''.) Para entender el fenómeno de la aberración lo más sencillo es pensar en la siguiente situación: está lloviendo y el agua cae de forma vertical a velocidad c. Si nos encontramos corriendo a velocidad v y queremos que una gota de agua atraviese un cilindro de longitud \ell, entonces debemos inclinar el cilindro en la dirección en la que vamos corriendo. (El ángulo de inclinación no depende de la longitud \ell.)

3. La contracción de Lorentz-Fitzgerald.

Esta hipótesis propone que la longitud de los cuerpos que se mueven en relación al éter a velocidad v con longitud \ell_0 se contrae exclusivamente en la dirección del movimiento de suerte que su nueva longitud es

    \[ \ell=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \]

En tal caso se puede demostrar que los dos patrones de interferencia en el aparato de Michelson-Morley coinciden, esto es, que \Delta t -\Delta t' =0. Sin embargo, esta hipótesis resultaba artificiosa, ad hoc y, sobre todo, no era verificable. Esto es así porque cualquier aparato de medida concebido para comprobarla también estaría afectado por dicha contracción.

¿Cómo se sale de este atolladero en el que la física se había metido casi sin quererlo? Lo veremos en la siguiente lección.

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