Variedad diferenciable

SUMARIO

Ejemplo: diversas estructuras diferenciables en el plano. Cambio de coordenadas o aplicación transición. Cartas compatibles. Atlas diferenciable. Atlas maximal. Estructura diferenciable. Variedad diferenciable. Ejemplos de variedades. Variedades 0-dimensionales. Espacios euclídeos o euclidianos. Una estructura diferenciable distinta para la recta real. Espacios vectoriales de dimensión finita. Espacios de matrices. Subvariedades abiertas. El grupo general lineal. Esferas n-dimensionales. Espacios productivos. Espacios producto.

BIBLIO

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 1.


La definición que hemos proporcionado en la lección anterior es suficiente para estudiar las propiedades topológicas de las variedades: compacidad, conexión, clasificación, etc. No obstante, en ningún momento se hace mención al cálculo y hay una buena razón para ello que vamos a ilustrar con un ejemplo.

Ejemplo. Estructuras diferenciables en el plano

Consideremos \mathbf{R}^2 como espacio topológico con la topología usual. Una carta sencilla para este espacio sería la propia identidad pero hay muchas más. Por ejemplo, podemos considerar la función \varphi(u,v)=(u^{1/3},v^{1/3}) que, claramente, es biyectiva con inversa continua.

Dada una función real y continua f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R} es claro que, tanto la propia f como la composición f \circ \varphi^{-1}, son funciones continuas. En otras palabras: no hay ambigüedad a la hora de decidir si una función es continua utilizando una carta ú otra. Esta situación no puede extenderse a la hora de hablar de funciones diferenciables. ¿Por qué? Pues porque observemos que es sencillo encontrar funciones f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R} que sean diferenciables al componer con la carta identidad y que no lo sean al componer con la carta \varphi o viceversa.

Esta situación genera incertidumbre para decidir cuándo una función real definida sobre una variedad topológica es diferenciable o no. Necesitamos algo más en la definición.

Pregunta: ¿Se te ocurre alguna función en concreto para ilustrar el ejemplo?

Como ya hemos apuntado, esta situación es del todo indeseable ya que, según la carta que utilicemos para expresar la función f, tendremos diferenciabilidad o no y esto no lo podemos permitir: no podemos jugar con diferentes nociones de diferenciabilidad. La moraleja de esta situación es la siguiente: únicamente con la estructura topológica no podemos definir de modo único el concepto de función diferenciable.

Para resolver este problema necesitamos ir más allá y debemos introducir la noción de variedad diferenciable. Ésta será una variedad topológica con una estructura extra que nos va a permitir decidir cuándo una función real es diferenciable, o no, sobre la variedad.

Comenzamos con algunas definiciones básicas para saber dónde estamos. Dados U y V abiertos de \mathbf{R}^n y \mathbf{R}^m respectivamente, una función F: U \rightarrow V se dice diferenciable si cada una de sus componentes tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Si, además, F es biyectiva y tiene inversa diferenciable, entonces diremos que es un difeomorfismo. De este modo, un difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo. (Obsérvese que nuestra definición de diferenciabilidad es súper exigente en comparación con la clásica del análisis.)

Sea ahora M una variedad topológica n-dimensional y sean (U,\varphi), (V,\psi) dos cartas tales que U \cap V \neq \varnothing. La aplicación

    \[ \psi \circ \varphi^{-1} : \varphi(U\cap V) \rightarrow \psi (U\cap V) \]

se llama la aplicación cambio de coordenadas (o aplicación transición) de la carta \varphi a la carta \psi. Observemos que se trata de una composición de homeomorfismos y, por tanto, también es un homeomorfismo entre abiertos de \mathbf{R}^n.

Diremos que dos cartas (U,\varphi) y (V,\psi) son compatibles si, o bien U \cap V = \varnothing, o bien el cambio de coordenadas \psi \circ \varphi^{-1} es un difeomorfismo en el sentido que hemos definido previamente (derivadas parciales continuas de todos los órdenes y biyectividad).

En la práctica, para demostrar que dos cartas son compatibles lo más rápido consiste en probar que:

1) el cambio de coordenadas es diferenciable, y
2) el jacobiano es siempre distinto de cero.

Una vez estudiado el concepto de carta compatible pasamos a la siguiente definición.

Definición. Atlas diferenciable

Se define un atlas \mathcal{A} sobre M como una colección de cartas cuyos dominios cubren por completo la variedad topológica M. Diremos que un atlas \mathcal{A} es diferenciable si, para cada pareja de cartas en el atlas, ambas son compatibles.

Merece la pena hacer ahora la siguiente observación.

Observación. Atlas maximal

Dada una única variedad topológica podría darse el caso de tener dos atlas diferentes cuyas cartas fueran compatibles entre sí. Así, podemos tomar como ejemplo M=\mathbf{R}^n equipado con los dos siguientes atlas:

    \begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1 & = & \{ \left( \mathbf{R}^n, \mathrm{Id}_{\mathbf{R}^n} \right) \}, \\ \mathcal{A}_2 & = & \{ \left( B_1(x), \mathrm{Id}_{B_1(x)} \right): x \in \mathbf{R}^n \}. \end{eqnarray*}

Aunque se trata de dos atlas distintos, veremos que definen la misma noción* de diferenciabilidad en el espacio \mathbf{R}^n de suerte que da lo mismo trabajar con uno o con otro. Sin embargo, sería deseable tener un atlas único que englobara a todos los posibles. ¿Verdad?

(*) Aunque lo veremos en la próxima lección, no está de más adelantarlo aquí. Diremos que una función f:M \rightarrow \mathbf{R} es diferenciable si f \circ \varphi^{-1} es diferenciable en el sentido usual para toda carta (U,\varphi) del atlas \mathcal{A}. Con esta definición en mente, está claro que la noción de función diferenciable es la misma para el atlas \mathcal{A}_1 que para el atlas \mathcal{A}_2.

A la vista de la anterior observación se tiene la siguiente definición: un atlas \mathcal{A} en M se dice que es maximal si no está contenido, propiamente, en un atlas mayor. Esto significa que cualquier carta que sea compatible con todas las cartas de \mathcal{A} ya está contenida en el propio \mathcal{A}. Un atlas maximal diferenciable en M se dice que es una estructura diferenciable sobre M.

Llegamos así al concepto central de esta lección.

Definición. Variedad diferenciable

El par formado por una variedad topológica M y una estructura diferenciable \mathcal{A} sobre dicho conjunto se dice que es una variedad diferenciable.

Queremos insistir en la siguiente idea: una estructura diferenciable es una capa adicional de datos que añadimos a una variedad topológica para convertirla en variedad diferenciable. Dada una misma variedad topológica, ésta puede admitir diferentes estructuras diferenciables. (Más aún: hay variedades topológicas tan extrañas que no admiten estructuras diferenciables. ¡Ninguna!)

A efectos prácticos no es conveniente definir una estructura diferenciable describiendo explícitamente el atlas maximal. Nos moriríamos antes de terminar dicha tarea. Por suerte, podemos quedarnos en el siguiente resultado que damos sin prueba.

Proposición

Sea M una variedad topológica. Entonces:

a) Cada atlas diferenciable \mathcal{A} sobre M está contenido en una única estructura diferenciable maximal que llamaremos, la estructura diferenciable determinada por \mathcal{A}.

b) Dos atlas diferenciables para M determinan la misma estructura diferenciable si, y sólo si, su unión es un atlas diferenciable, esto es, si sus cartas son compatibles.


Ejemplos de variedades diferenciables

Los escribimos a mano.

Variedades 0-dimensionales

Espacios euclídeos o euclidianos

Otra estructura diferenciable para la recta real

Espacios vectoriales de dimensión finita

Espacios de matrices

Subvariedades abiertas

El grupo general lineal

Esferas

Proyectivos

Productos

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