Variedad diferenciable | Gravitación

Bibliografía

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 1.

La definición de variedad topológica que hemos proporcionado en la lección anterior nos permite estudiar, valga la redundancia, las propiedades topológicas de estos espacios: compacidad, conexión, clasificación, etc. No obstante, en ningún momento se hace mención al cálculo diferencial.

Para abordar esta circunstancia necesitamos ir más allá y debemos introducir la noción de variedad diferenciable. Ésta será una variedad topológica con una estructura extra que nos permitirá definir cuándo una función real es diferenciable, o no, sobre la variedad. Así mismo, nos llevará a construir todas las herramientas del cálculo diferencial: diferencial de una aplicación, integración, formas, etc.

Comencemos con algunas definiciones básicas para saber dónde estamos. Dados $U$ y $V$ abiertos de $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ respectivamente, una función $F: U \rightarrow V$ se dice diferenciable si cada una de sus componentes tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Si, además, $F$ es biyectiva y tiene inversa diferenciable, entonces diremos que es un difeomorfismo. De este modo, un difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo. (Obsérvese que nuestra definición de diferenciabilidad es súper exigente en comparación con la clásica del análisis.)

Sea ahora $M$ una variedad topológica n-dimensional y sean $(U,\phi), (V,\psi)$ dos cartas tales que $U \cap V \neq \varnothing$ . La aplicación

$\psi \circ \phi^{-1} : \phi(U\cap V) \rightarrow \psi (U\cap V)$

se llama la aplicación cambio de coordenadas (o aplicación transición) de la carta $\phi$ a la carta $\psi$ . Observemos que se trata de una composición de homeomorfismos y, por tanto, también es un homeomorfismo entre abiertos de $\mathbb{R}^n$ .

Diremos que dos cartas $(U,\phi)$ y $(V,\psi)$ son compatibles si, o bien $U$ y $V$ tienen intersección vacía, o bien el cambio de coordenadas $\psi \circ \phi^{-1}$ es un difeomorfismo en el sentido que hemos definido previamente (derivadas parciales continuas de todos los órdenes y biyectividad).

En la práctica, por resultados conocidos de funciones de varias variables, para demostrar que dos cartas son compatibles lo más rápido consiste en probar que:

1) el cambio de coordenadas es diferenciable, y
2) el jacobiano es siempre distinto de cero.

Una vez estudiado el concepto de carta compatible pasamos a la siguiente definición.

Definición. Atlas diferenciable

Se define un atlas $\mathcal{A}$ sobre $M$ como una colección de cartas cuyos dominios cubren por completo la variedad topológica $M.$ Diremos que un atlas $\mathcal{A}$ es diferenciable si, para cada pareja de cartas en el atlas, ambas son compatibles.

Merece la pena hacer ahora la siguiente observación en relación al concepto de atlas.

Observación. Atlas maximal

Dada una única variedad topológica podría darse el caso de tener dos atlas diferentes cuyas cartas fueran compatibles entre sí. Así, podemos tomar como ejemplo $M=\mathbb{R}^n$ equipado con los dos siguientes atlas:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1 & = & \{ \left( \mathbb{R}^n, \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^n} \right) \}, \\ \mathcal{A}_2 & = & \{ \left( B(x,1), \mathrm{Id}_{B(x,1)} \right): x \in \mathbb{R}^n \}. \end{eqnarray*}$

Aunque se trata de dos atlas distintos, vemos que las cartas son compatibles entre ambos. En este sentido, sería deseable tener un atlas único que englobara a todos los posibles. ¿Verdad?

A la vista de la anterior observación se tiene la siguiente definición: un atlas $\mathcal{A}$ en $M$ se dice que es maximal si no está contenido, propiamente, en un atlas mayor. Esto significa que cualquier carta que sea compatible con todas las cartas de $\mathcal{A}$ ya está contenida en el propio atlas $\mathcal{A}.$ Un atlas maximal diferenciable en $M$ se dice que es una estructura diferenciable sobre $M.$

Llegamos así al concepto central de esta lección.

Definición. Variedad diferenciable

El par formado por una variedad topológica $M$ y una estructura diferenciable $\mathcal{A}$ sobre dicho conjunto se dice que es una variedad diferenciable.

Queremos insistir en la siguiente idea: una estructura diferenciable es una capa adicional de datos que añadimos a una variedad topológica para convertirla en variedad diferenciable. Dada una misma variedad topológica, ésta puede admitir diferentes estructuras diferenciables. (Más aún: hay variedades topológicas tan extrañas que no admiten estructuras diferenciables. ¡Ninguna!)

A efectos prácticos no es conveniente definir una estructura diferenciable describiendo explícitamente el atlas maximal. Nos moriríamos antes de terminar dicha tarea. Por suerte, podemos quedarnos en el siguiente resultado que damos sin prueba.

Proposición

Sea $M$ una variedad topológica. Entonces:

a) Cada atlas diferenciable $\mathcal{A}$ sobre $M$ está contenido en una única estructura diferenciable. Dicha estructura diferenciable, unívocamente determinada por $\mathcal{A},$ la denotaremos por comodidad de la misma forma.

b) Dos atlas diferenciables para $M$ determinan la misma estructura diferenciable si, y sólo si, su unión es un atlas diferenciable, esto es, si sus cartas son compatibles.

Ejemplos de variedades diferenciables

Los escribimos a mano.

Variedades 0-dimensionales

Espacios euclídeos o euclidianos

Otra estructura diferenciable para el plano

Consideremos $\mathbb{R}^2$ como espacio topológico con la topología usual. Una carta sencilla para este espacio sería la propia identidad y con ella conseguimos una estructura diferenciable sobre el plano (La estructura diferencial estándar del plano.) dada por el atlas

$\mathcal{A}_u = \{ \left( \mathbb{R}^n, \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^n} \right) \}.$

No obstante, podríamos considerar la función $\psi(u,v)=(u^{1/3},v^{1/3})$ que, claramente, es biyectiva con inversa continua. Tendríamos así que el par

$(\mathbb{R}^2, \psi)$

es una carta (global) sobre el plano. Dicha carta nos proporciona un nuevo atlas dado por

$\mathcal{A}_r & = & \{ \left( \mathbb{R}^2, \psi \right) \}.$

Es sencillo comprobar que estos atlas no son compatibles. Por tanto, generan diferentes estructuras diferenciables sobre el plano.

Ejemplos de variedades diferenciables

Variedades 0-dimensionales

Espacios euclídeos o euclidianos

Otra estructura diferenciable para el plano

Espacios vectoriales de dimensión finita

Espacios de matrices

Subvariedades abiertas

El grupo general lineal

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Proyectivos

Productos

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