La definición de variedad topológica que hemos proporcionado en la lección anterior nos permite estudiar, valga la redundancia, las propiedades topológicas de estos espacios: compacidad, conexión, clasificación, etc. No obstante, en ningún momento se hace mención al cálculo diferencial.
Para abordar esta circunstancia necesitamos ir más allá y debemos introducir la noción de variedad diferenciable. Ésta será una variedad topológica con una estructura extra que nos permitirá definir cuándo una función real es diferenciable, o no, sobre la variedad. Así mismo, nos llevará a construir todas las herramientas del cálculo diferencial: diferencial de una aplicación, integración, formas, etc.
Comencemos con algunas definiciones básicas para saber dónde estamos. Dados y
abiertos de
y
respectivamente, una función
se dice diferenciable si cada una de sus componentes tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Si, además,
es biyectiva y tiene inversa diferenciable, entonces diremos que es un difeomorfismo. De este modo, un difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo. (Obsérvese que nuestra definición de diferenciabilidad es súper exigente en comparación con la clásica del análisis.)
Sea ahora una variedad topológica n-dimensional y sean
dos cartas tales que
. La aplicación
se llama la aplicación cambio de coordenadas (o aplicación transición) de la carta a la carta
. Observemos que se trata de una composición de homeomorfismos y, por tanto, también es un homeomorfismo entre abiertos de
.
Diremos que dos cartas y
son compatibles si, o bien
y
tienen intersección vacía, o bien el cambio de coordenadas
es un difeomorfismo en el sentido que hemos definido previamente (derivadas parciales continuas de todos los órdenes y biyectividad).
En la práctica, por resultados conocidos de funciones de varias variables, para demostrar que dos cartas son compatibles lo más rápido consiste en probar que:
1) el cambio de coordenadas es diferenciable, y
2) el jacobiano es siempre distinto de cero.
Una vez estudiado el concepto de carta compatible pasamos a la siguiente definición.
Merece la pena hacer ahora la siguiente observación en relación al concepto de atlas.
A la vista de la anterior observación se tiene la siguiente definición: un atlas en
se dice que es maximal si no está contenido, propiamente, en un atlas mayor. Esto significa que cualquier carta que sea compatible con todas las cartas de
ya está contenida en el propio atlas
Un atlas maximal diferenciable en
se dice que es una estructura diferenciable sobre
Llegamos así al concepto central de esta lección.
Queremos insistir en la siguiente idea: una estructura diferenciable es una capa adicional de datos que añadimos a una variedad topológica para convertirla en variedad diferenciable. Dada una misma variedad topológica, ésta puede admitir diferentes estructuras diferenciables. (Más aún: hay variedades topológicas tan extrañas que no admiten estructuras diferenciables. ¡Ninguna!)
A efectos prácticos no es conveniente definir una estructura diferenciable describiendo explícitamente el atlas maximal. Nos moriríamos antes de terminar dicha tarea. Por suerte, podemos quedarnos en el siguiente resultado que damos sin prueba.
Ejemplos de variedades diferenciables
Los escribimos a mano.
Variedades 0-dimensionales
Espacios euclídeos o euclidianos
Otra estructura diferenciable para el plano
Consideremos como espacio topológico con la topología usual. Una carta sencilla para este espacio sería la propia identidad y con ella conseguimos una estructura diferenciable sobre el plano (La estructura diferencial estándar del plano.) dada por el atlas
No obstante, podríamos considerar la función que, claramente, es biyectiva con inversa continua. Tendríamos así que el par
es una carta (global) sobre el plano. Dicha carta nos proporciona un nuevo atlas dado por
Es sencillo comprobar que estos atlas no son compatibles. Por tanto, generan diferentes estructuras diferenciables sobre el plano.