En este tema vamos a estudiar variedades topológicas. En primera instancia, nos referimos a espacios que, localmente, son idénticos (desde un punto de vista topológico) a algún espacio y en los cuales podremos hacer cálculo cuando tengamos las herramientas adecuadas.
Los ejemplos más familiares de variedades topológicas serían las curvas planas como, por ejemplo, los círculos y las parábolas (n=1). También las superficies regulares como esferas, toros, elipsoides, paraboloides, hiperboloides y las de revolución (n=2). Y no solamente superficies regulares, sino también superficies abstractas como la botella de Klein y el plano proyectivo. Finalmente, ejemplos de mayor dimensión incluyen las n-esferas así como los grafos de aplicaciones continuas entre espacios euclídeos.
Veamos la definición de variedad topológica que es la más importante de esta lección:
En esencia, una variedad topológica es un espacio (topológico) razonablemente bueno que satisface la propiedad VT3 siendo ésta la más característica. La cuestión que surge es: ¿por qué exigimos entonces VT1 y VT2 en la definición? La respuesta es que existen construcciones extrañas de objetos que son localmente como un pero que albergan propiedades desconcertantes. Así VT1 es necesaria para la unicidad de los límites convergentes mientras que VT2 es básica para construir las particiones diferenciables de la unidad, una herramienta que permite extender globalmente objetos definidos en el ámbito local.
En la práctica, es sencillo comprobar si una variedad es Hausdorff y segundo axioma ya que ambas propiedades son hereditarias por subespacios y productos finitos. En particular, es obvio que todo abierto de una variedad topológica n-dimensional es, de nuevo, una variedad topológica n-dimensional. (Demuéstralo como ejercicio.
)
La dimensión de una variedad
Si es una variedad topológica de dimensión n, escribiremos entonces
. Otras veces diremos únicamente: sea
una variedad para abreviar. Una vez aclarada la dimensión, normalmente no se vuelve a especificar como superíndice.
Cartas coordenadas
Los homeomorfismos de la propiedad VT3 son tan importantes que reciben un nombre distinguido. De hecho, para demostrar que algo es una variedad topológica el mayor trabajo consiste en construir estos homeomorfismos. ¿Y cómo los vamos a llamar? Pues aquí tenéis la respuesta:Dada una carta , diremos que
es el entorno (o dominio) coordenado de cada uno de sus puntos. La aplicación
puede expresarse en componentes como
y estas componentes se suelen llamar coordenadas locales en



A veces escribiremos cosas como « es una carta conteniendo a
» para indicar que
es una carta en cuyo dominio
está contenido. Si queremos poner el énfasis en las funciones coordenadas
en lugar de la aplicación
entonces escribiremos la carta como
o, simplemente, así:
Es importante remarcar aquí, aunque volveremos al tema más adelante y será una cuestión recurrente, que haremos un abuso de notación con las componentes de la carta. Así, la expresión puede indicar dos cosas bien distintas:
Primer significado: la coordenada j-ésima del espacio cuyas coordenadas canónicas son
, y
Segundo significado: la función coordenada j-ésima de la aplicación dada por
Ejemplos de variedades topológicas
Antes de comenzar con los ejemplos propiamente dichos, veamos un par de casos en los que no tenemos una variedad topológica. Así, si consideramos el conjunto
con la topología inducida del plano (este detalle es importante; ¿se te ocurre una topología distinta para este conjunto de modo que sí sea variedad?
) se puede ver que el origen no admite un entorno que sea homeomorfo a un abierto de la recta real .

Análogamente, si tomamos el cono 2-dimensional dado por
se tiene el mismo problema para el origen (de nuevo, consideramos la topología inducida por Veamos, ahora sí, algunos ejemplos para practicar las definiciones y que nos resulten más familiares.
Grafos de funciones continuas
Sea un abierto y sea
una función continua. Se define el grafo de
como
donde consideramos la topología de subespacio. Es claro que

la proyección en el primer factor y definimos como la restricción de
al subconjunto
de suerte que
Como es la restricción de una aplicación continua (de la propia proyección, evidentemente) entonces es continua. Más aún, tiene inversa continua dada por

De esta forma, el conjunto es una variedad topológica de dimensión
. De hecho,
es homeomorfo al propio
y tenemos así que
es una carta o sistema de coordenadas global. Más tarde veremos que este tipo de situaciones son una rareza en el sentido de que, al menos, son necesarias dos cartas para cubrir una variedad.
Esferas
Para cada entero se define la n-esfera
como el subconjunto
donde denota la norma euclidiana habitual dada por
Siendo un subespacio de
es claro que se cumplen (VT1) y (VT2). Vamos a por (VT3). Para ello, consideramos
y definimos
(Análogamente,









Ejercicio: Comprobar que es realmente la inversa y demuestra que es una aplicación continua.
Hemos demostrado que todos los puntos pertenecientes al hemisferio admiten un entorno abierto (el propio hemisferio) que es homeomorfo a un abierto de
(de hecho, una bola abierta unidad). Como podemos cubrir la esfera mediante todos los hemisferios positivos y negativos se tiene que es una variedad topológica n-dimensional.
Ejercicio: ¿Cuántas cartas se necesitan para cubrir la esfera de dimensión n?
Ejercicio: Construye la carta
de forma explícita.
Espacios proyectivos
Este es el primer ejemplo que vamos a ver de variedad topológica no-trivial en el sentido de que su estructura local euclídea no es tan evidente como en los anteriores. Lo vamos a escribir a mano. En primer lugar vamos a tratar el caso 1-dimensional para no complicarnos mucho la vida.



Y ahora nos pasamos al caso general n-dimensional.
Ejercicio: Utiliza esta última identificación del proyectivo con el cociente de la esfera bajo puntos antípodas para concluir que el espacio proyectivo n-dimensional es compacto.
Variedades producto
Sean variedades topológicas con dimensiones
respectivamente. Vamos a demostrar que el espacio producto
es una variedad topológica con dimensión

(¿qué argumentos?)
así que únicamente debemos probar que es localmente euclidiana.
Tomamos pues un punto arbitrario y elegimos una carta
de
tal que
para
. La aplicación producto
es un homeomorfismo sobre su imagen ya que el producto de homeomorfismos es un homeomorfismo si consideramos como topología la producto.
Toros
Para cada entero n positivo, se define el n-toro como el espacio producto
Por la discusión anterior, sabemos que se trata de una n-variedad topológica. En el caso n=2, lo llamaremos simplemente el toro.
Ejercicio: Encuentra una carta para el n-toro.
Ejercicio: Demuestra que este 2-toro es homeomorfo al toro de revolución de la geometría de tercero de superficies.
Propiedades topológicas de las variedades
Como espacios topológicos, las variedades son muy especiales y comparten muchas propiedades con el espacio . Vamos a repasar algunas de estas características. Así, si
es una variedad topológica, entonces, respecto a la conexión se tiene que:
1) es localmente arco-conexa,
2) es conexa si, y sólo si, es arco-conexa,
3) Las componentes conexas de coinciden con las componentes arco-conexas, y
4) tiene, como mucho, una cantidad numerable de componentes conexas, cada una de las cuales es un abierto de
y una variedad topológica conexa.
En cuanto a compacidad únicamente podemos afirmar que las variedades son localmente compactas (repasar la definición de topología de segundo). Hay otra propiedad más sofisticada que cumplen siempre las variedades: son paracompactas. No obstante, no vamos a profundizar más en este tema.