Variedad topológica | Gravitación

Biblio

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 1.

En este tema vamos a estudiar variedades topológicas. En primera instancia, nos referimos a espacios que, localmente, son idénticos (desde un punto de vista topológico) a algún espacio $\mathbb{R}^n$ y en los cuales podremos hacer cálculo cuando tengamos las herramientas adecuadas.

Los ejemplos más familiares de variedades topológicas serían las curvas planas como, por ejemplo, los círculos y las parábolas (n=1). También las superficies regulares como esferas, toros, elipsoides, paraboloides, hiperboloides y las de revolución (n=2). Y no solamente superficies regulares, sino también superficies abstractas como la botella de Klein y el plano proyectivo. Finalmente, ejemplos de mayor dimensión incluyen las n-esferas así como los grafos de aplicaciones continuas entre espacios euclídeos.

Veamos la definición de variedad topológica que es la más importante de esta lección:

Definición. Variedad topológica

Sea $M$ un espacio topológico. Diremos que $M$ es una variedad topológica de dimensión n o una n-variedad topológica si:

VT1) $M$ es un espacio Hausdorff: para cada par de puntos $p,q$ distintos de $M$ existen abiertos $U,V$ disjuntos con $p\in U$ y $q\in V$ ,

VT2) $M$ es segundo axioma de numerabilidad: existe una base numerable para la topología de $M$ , y

VT3) $M$ es localmente euclídeo con dimensión n: cada punto de $M$ está en un abierto que es homeomorfo a un abierto de $\mathbb{R}^n$ .

La tercera propiedad significa exactamente que, para todo $p\in M$ , se cumple:

i) podemos encontrar un abierto $U$ de $M$ con $p \in U$ ,
ii) existe un abierto $\tilde{U}$ de $\mathbb{R}^n$ , y
iii) existe un homeomorfismo

$\phi: U \rightarrow \tilde{U}.$

En esencia, una variedad topológica es un espacio (topológico) razonablemente bueno que satisface la propiedad VT3 siendo ésta la más característica. La cuestión que surge es: ¿por qué exigimos entonces VT1 y VT2 en la definición? La respuesta es que existen construcciones extrañas de objetos que son localmente como un $\mathbb{R}^n$ pero que albergan propiedades desconcertantes. Así VT1 es necesaria para la unicidad de los límites convergentes mientras que VT2 es básica para construir las particiones diferenciables de la unidad, una herramienta que permite extender globalmente objetos definidos en el ámbito local.

En la práctica, es sencillo comprobar si una variedad es Hausdorff y segundo axioma ya que ambas propiedades son hereditarias por subespacios y productos finitos. En particular, es obvio que todo abierto de una variedad topológica n-dimensional es, de nuevo, una variedad topológica n-dimensional. (Demuéstralo como ejercicio.)

Ejemplos

Variedad localmente euclidea, segundo axioma que no es Hausdorff: sea $X$ el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ del plano tales que $y=\pm 1$ y sea $M$ el cociente de $X$ por la relación de equivalencia dada por $(x,-1) \equiv (x,1)$ para todo $x \neq 0$ . Este espacio se llama la línea con dos orígenes.

Ejercicio: demuestra que cumple VT2, VT3, pero no VT1.

Variedad localmente euclidea, Hausdorff que no es segundo axioma: la unión disjunta de una cantidad no numerable de copias de $\mathbb{R}$ .

La dimensión de una variedad

Si $M$ es una variedad topológica de dimensión n, escribiremos entonces $\textrm{dim}M=n$ . Otras veces diremos únicamente: sea $M^n$ una variedad para abreviar. Una vez aclarada la dimensión, normalmente no se vuelve a especificar como superíndice.

Observación. El problema de la dimensión

A lo largo de estas lecciones nuestras variedades tendrán una dimensión bien definida. Excluimos así, y por convenio, situaciones como la siguiente: la unión disjunta de una recta y un plano cumplen con la definición de variedad topológica pero una de las componentes conexas tiene dimensión 1 (la recta, evidentemente) mientras que el plano tiene dimensión 2.

Por otra parte, si una variedad topológica es conexa, entonces existen argumentos topológicos (fuera del alcance de este curso: invarianza del dominio de Brouwer, cohomología de de Rham) para demostrar que su dimensión es unívoca. De hecho se puede demostrar que: una variedad topológica de dimensión $n$ no puede ser homeomorfa a otra de dimensión $m$ a menos que $m=n$ .

Cartas coordenadas

Los homeomorfismos de la propiedad VT3 son tan importantes que reciben un nombre distinguido. De hecho, para demostrar que algo es una variedad topológica el mayor trabajo consiste en construir estos homeomorfismos. ¿Y cómo los vamos a llamar? Pues aquí tenéis la respuesta:

Definición. Carta coordenada

Sea $M$ una variedad topológica de dimensión n. Una carta coordenada (o simplemente una carta) en $M$ es un par $(U,\phi)$ , donde $U$ es un abierto de $M$ y

$\phi: U \rightarrow \phi(U)=\tilde{U}$

es un homeomorfismo de $U$ al abierto $\tilde{U}$ de $\mathbb{R}^n$ . Observemos que la definición de variedad topológica nos garantiza que, para cada $p \in M$ , siempre podemos encontrar una carta $(U,\phi)$ tal que $p$ esté en su dominio. Si $\phi(p)=0$ diremos que la carta está centrada en $p$ . (Observemos que esto es siempre posible simplemente restando el vector constante $\phi(p)$ .)

Dada una carta $(U,\phi)$ , diremos que $U$ es el entorno (o dominio) coordenado de cada uno de sus puntos. La aplicación $\phi$ puede expresarse en componentes como

$\phi(p)=(x^1(p), \ldots, x^n(p))$

y estas componentes se suelen llamar coordenadas locales en $U$ donde $x^j:U\rightarrow \mathbb{R}$ es la j-ésima componente de la carta $\phi$ .

A veces escribiremos cosas como « $(U,\phi)$ es una carta conteniendo a $p$ » para indicar que $(U,\phi)$ es una carta en cuyo dominio $p$ está contenido. Si queremos poner el énfasis en las funciones coordenadas $(x^1, \ldots, x^n)$ en lugar de la aplicación $\phi,$ entonces escribiremos la carta como

$\left(U,(x^1, \ldots, x^n)\right)$

o, simplemente, así:

$\left(U,(x^{i})\right).$

Es importante remarcar aquí, aunque volveremos al tema más adelante y será una cuestión recurrente, que haremos un abuso de notación con las componentes de la carta. Así, la expresión $x^j$ puede indicar dos cosas bien distintas:

Primer significado: la coordenada j-ésima del espacio $\mathbb{R}^n$ cuyas coordenadas canónicas son $(x^1,\ldots,x^n)$ , y

Segundo significado: la función coordenada j-ésima de la aplicación $\phi$ dada por $x^j:U\rightarrow \mathbb{R}.$

Ejemplos de variedades topológicas

Antes de comenzar con los ejemplos propiamente dichos, veamos un par de casos en los que no tenemos una variedad topológica. Así, si consideramos el conjunto

$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy=0 \}$

con la topología inducida del plano (este detalle es importante; ¿se te ocurre una topología distinta para este conjunto de modo que sí sea variedad?) se puede ver que el origen no admite un entorno que sea homeomorfo a un abierto de la recta real $\mathbb{R}$ .

La unión de los ejes coordenados en el plano y el cono 2-dimensional son ejemplos de no variedades.

Análogamente, si tomamos el cono 2-dimensional dado por

$\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=z^2 \}$

se tiene el mismo problema para el origen (de nuevo, consideramos la topología inducida por $\mathbb{R}^3.$ Veamos, ahora sí, algunos ejemplos para practicar las definiciones y que nos resulten más familiares.

Grafos de funciones continuas

Sea $U \subset \mathbb{R}^n$ un abierto y sea $f: U \rightarrow \mathbb{R}^k$ una función continua. Se define el grafo de $f$ como

$\Gamma(f)=\{ (x,f(x)) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k : x \in U \},$

donde consideramos la topología de subespacio. Es claro que $\Gamma(f)$ satisface (VT1) y (VT2) pues ambas propiedades son hereditarias. V.a.v.q. también se cumple (VT3): para ello tomamos

$\pi_1:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$

la proyección en el primer factor y definimos $\phi : \Gamma(f) \rightarrow U$ como la restricción de $\pi_1$ al subconjunto $\Gamma(f)$ de suerte que

$\phi(x,f(x))=x, \quad (x,f(x)) \in \Gamma(f).$

Como $\phi$ es la restricción de una aplicación continua (de la propia proyección, evidentemente) entonces es continua. Más aún, tiene inversa continua dada por

$\phi^{-1}(x)=(x,f(x)).$

Un grafo es una variedad n-dimensional que además se cubre con una única carta.

De esta forma, el conjunto $\Gamma(f)$ es una variedad topológica de dimensión $n$ . De hecho, $\Gamma(f)$ es homeomorfo al propio $U$ y tenemos así que $(\Gamma(f),\phi)$ es una carta o sistema de coordenadas global. Más tarde veremos que este tipo de situaciones son una rareza en el sentido de que, al menos, son necesarias dos cartas para cubrir una variedad.

Esferas

Para cada entero $n\geq 0$ se define la n-esfera $\mathbb{S}^n$ como el subconjunto

$\mathbb{S}^n = \{ (u^1, \ldots, u^{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} : |u|=1 \}$

donde $|\cdot|$ denota la norma euclidiana habitual dada por

$|u|=\sqrt{(u^1)^2+ \cdots + (u^{n+1})^2}.$

Siendo $\mathbb{S}^n$ un subespacio de $\mathbb{R}^{n+1}$ es claro que se cumplen (VT1) y (VT2). Vamos a por (VT3). Para ello, consideramos $i=1,\ldots,n+1$ y definimos

$U_{i}^{+}=\{ (u^1, \ldots, u^{n+1}) \in \mathbb{S}^{n} :u^{i}>0 \}.$

(Análogamente, $U_{i}^{-}$ es el conjunto en el que $u^{i}<0$ .) Definimos la aplicación

$\phi_{i}^{+}:U_{i}^{+} \rightarrow \mathbb{B}^{n}$

dada por

$\phi_{i}^{+}(u)=\left(u^1,\ldots,\widehat{u^{i}},\ldots,u^{n+1} \right)$

donde $\mathbb{B}^{n}$ es la bola (abierta) unidad de $\mathbb{R}^{n}$ y el sombrero indica que la i-ésima componente es omitida. Observemos que $\phi_{i}^{+}$ es una aplicación continua ya que se trata de la restricción de una proyección a un abierto de $\mathbb{S}^n$ . Más aún: tiene una inversa continua y la vamos a encontrar ahora mismo. Para ello tomamos la función continua

$f: \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{R}$

dada por

$f(x)=\sqrt{1-|x|^2}$

donde $x=(x^1,\ldots,x^n)$ es un punto arbitrario y $|\cdot|$ su norma euclidiana n-dimensional. La inversa de $\phi_{i}^{+}$ viene dada por

$\left(\phi_{i}^{+}\right)^{-1}(x^1,\ldots,x^n)= \left(x^1,\ldots,x^{i-1},f(x),x^{i},\ldots,x^n \right).$

Ejercicio: Comprobar que es realmente la inversa y demuestra que es una aplicación continua.

Hemos demostrado que todos los puntos pertenecientes al hemisferio $U_{i}^{+}$ admiten un entorno abierto (el propio hemisferio) que es homeomorfo a un abierto de $\mathbb{R}^{n}$ (de hecho, una bola abierta unidad). Como podemos cubrir la esfera mediante todos los hemisferios positivos y negativos se tiene que es una variedad topológica n-dimensional.

Ejercicio: ¿Cuántas cartas se necesitan para cubrir la esfera de dimensión n?

Ejercicio: Construye la carta de forma explícita.

Espacios proyectivos

Este es el primer ejemplo que vamos a ver de variedad topológica no-trivial en el sentido de que su estructura local euclídea no es tan evidente como en los anteriores. Lo vamos a escribir a mano. En primer lugar vamos a tratar el caso 1-dimensional para no complicarnos mucho la vida.

Y ahora nos pasamos al caso general n-dimensional.

Ejercicio: Utiliza esta última identificación del proyectivo con el cociente de la esfera bajo puntos antípodas para concluir que el espacio proyectivo n-dimensional es compacto.

Variedades producto

Sean $M_1,\ldots,M_k$ variedades topológicas con dimensiones $n_1,\ldots,n_k$ respectivamente. Vamos a demostrar que el espacio producto

$M_1\times \cdots \times M_k$

es una variedad topológica con dimensión $n_1+\cdots + n_k$ . Usando argumentos de topología se puede garantizar que (VT1) y (VT2) se satisfacen (¿qué argumentos?) así que únicamente debemos probar que es localmente euclidiana.

Tomamos pues $(p_1,\ldots,p_k)$ un punto arbitrario y elegimos una carta $(U_i,\phi_i)$ de $M_i$ tal que $p_i \in M_i$ para $i=1,\ldots, k$ . La aplicación producto

$\phi_1 \times \cdots\times \phi_k : U_1\times \cdots \times U_k \rightarrow \mathbb{R}^{n_1+\cdots + n_k}$

es un homeomorfismo sobre su imagen ya que el producto de homeomorfismos es un homeomorfismo si consideramos como topología la producto.

Toros

Para cada entero n positivo, se define el n-toro como el espacio producto

$\mathbb{T}=\mathbb{S}^1\times\cdots\times\mathbb{S}^1$

Por la discusión anterior, sabemos que se trata de una n-variedad topológica. En el caso n=2, lo llamaremos simplemente el toro.

Ejercicio: Encuentra una carta para el n-toro.

Ejercicio: Demuestra que este 2-toro es homeomorfo al toro de revolución de la geometría de tercero de superficies.

Propiedades topológicas de las variedades

Como espacios topológicos, las variedades son muy especiales y comparten muchas propiedades con el espacio $\mathbb{R}^n$ . Vamos a repasar algunas de estas características. Así, si $M$ es una variedad topológica, entonces, respecto a la conexión se tiene que:

1) $M$ es localmente arco-conexa,
2) $M$ es conexa si, y sólo si, es arco-conexa,
3) Las componentes conexas de $M$ coinciden con las componentes arco-conexas, y
4) $M$ tiene, como mucho, una cantidad numerable de componentes conexas, cada una de las cuales es un abierto de $M$ y una variedad topológica conexa.

En cuanto a compacidad únicamente podemos afirmar que las variedades son localmente compactas (repasar la definición de topología de segundo). Hay otra propiedad más sofisticada que cumplen siempre las variedades: son paracompactas. No obstante, no vamos a profundizar más en este tema.