Vectores tangentes

La dificultad para definir un vector tangente a una variedad. Vectores como derivaciones. Vectores tangentes a una variedad. El espacio tangente. La base de las parciales. Ejemplos. Vectores tangentes de una superficie regular. Sobre el abuso de notación. Coordenadas polares en el plano.

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 3.

En este ejemplo hemos trabajado con una parametrización de tercero . En ella, el objeto tiene dos roles bien diferentes:

1) de un lado, representa la primera coordenada del plano (mientras que es la segunda). A este respecto, recordemos que dicho plano se llama en tercero el plano de coordenadas o plano coordenado, y

2) de otro, representa la función coordenada , es decir, la primera función coordenada de la carta que, a su vez, es la inversa de la parametrización .

En el caso (1), la función hace el papel de en las definiciones anteriores, mientras que en el caso (2) la función es la función coordenada . Este abuso de notación es muy frecuente y lo usaremos asiduamente para abreviar y economizar. Pronto os acostumbraréis.