Vectores tangentes

SUMARIO

La dificultad para definir un vector tangente a una variedad. Vectores como derivaciones. Vectores tangentes a una variedad. El espacio tangente. La base de las parciales. Ejemplos. Vectores tangentes de una superficie regular. Sobre el abuso de notación. Coordenadas polares en el plano.

BIBLIO

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 3.



Ejemplos

Vectores tangentes para una superficie regular

Observación. Sobre el abuso de notación

En este ejemplo hemos trabajado con una parametrización de tercero X(u,v). En ella, el objeto u tiene dos roles bien diferentes:

1) de un lado, u representa la primera coordenada del plano \mathbf{R}^2 (mientras que v es la segunda). A este respecto, recordemos que dicho plano se llama en tercero el plano de coordenadas o plano coordenado, y

2) de otro, u representa la función coordenada u:V\rightarrow\mathbf{R}, es decir, la primera función coordenada de la carta \varphi que, a su vez, es la inversa de la parametrización X.

En el caso (1), la función u hace el papel de u^1 en las definiciones anteriores, mientras que en el caso (2) la función u es la función coordenada x^1. Este abuso de notación es muy frecuente y lo usaremos asiduamente para abreviar y economizar. Pronto os acostumbraréis.

Coordenadas polares en el plano

Deja una respuesta