La dilatación del tiempo

De cómo cuando vemos un partido de fútbol en un dirigible a velocidad v el partido dura más de 90 minutos. (Sin contar el añadido.)

En la lección que trata sobre la relatividad de la simultaneidad hemos demostrado, utilizando los postulados de la Relatividad Especial, que observadores inerciales en movimiento relativo no se pueden poner de acuerdo en lo que respecta a la simultaneidad de los sucesos. De hecho, lo que ocurre es todavía más profundo: el discurrir del tiempo es diferente para cada uno de ellos.

1. Los eventos deben estar conectados causalmente: ya veremos esto lo que significa más adelante.

Este fenómeno se conoce habitualmente como dilatación del tiempo. (No soy muy partidario de nombrar este efecto de esta manera concreta pues puede inducir a confusión.) En pocas palabras se podría resumir así: el tiempo más corto entre dos eventos1 es el que mide un reloj que se encuentre precisamente en la localización de ambos eventos con la condición de que se desplace a velocidad constante.

Pero vayamos por partes. La primera cuestión en la que debemos poner luz es precisamente cómo medimos el tiempo. Para ello utilizamos un reloj. Lo esencial en esta discusión es que tenemos que utilizar los mismos relojes siempre: algún fenómeno natural periódico por ejemplo. Para hacer ciencia lo más recomendable es contar con relojes atómicos que son precisos hasta el orden de los nanosegundos por día transcurrido. (Esto se traduce también en una precisión del orden 10^{-14} por segundo transcurrido. Basta para ello tener en cuenta que 1 día son 86.400 segundos.)

En la época de Einstein los relojes atómicos eran una quimera. No obstante, él mismo ideó un reloj de luz que viene a ser un aparato súper preciso en el cual el tic-tac lo marca cada uno de los rebotes de un rayo de luz entre dos espejos paralelos.

Si llamamos t_0 al tiempo empleado por el rayo de luz desde que es emitido hasta que regresa al espejo #1 entonces se tiene que

(1)   \begin{equation*} 2L=ct_0. \end{equation*}

Supongamos ahora que observamos el mismo reloj de luz moviéndose a velocidad v respecto de nosotros. El aspecto de este mismo experimento sería el que vemos en este dibujo:

La distancia recorrida por el rayo de luz entre los eventos A y C está dada por las dos hipotenusas de los dos triángulos (idénticos) rectángulos del dibujo. Observemos entonces que

(2)   \begin{equation*} \sqrt{L^2+(\frac{vt}{2})^2}=\frac{ct}{2} \end{equation*}

siendo t el tiempo que nosotros observamos (medimos) desde nuestro sistema de referencia entre los eventos A y C. Notemos que aquí ya estamos aplicando el postulado P2 de la relatividad especial en virtud del cual la velocidad de la luz es un invariante. Si ahora igualamos la velocidad de la luz en la ecuación (1) con la misma velocidad de la luz en (2) obtenemos que

(3)   \begin{equation*} t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \end{equation*}

Se llega así a la siguiente conclusión: el tiempo transcurrido t para alguien que observa un reloj en movimiento es mayor que el tiempo propio que marca dicho reloj y que en este ejemplo está dado por t_0.

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