La contracción de longitudes

La contracción de longitudes es otra de las consecuencias directas de los postulados de la relatividad especial. Presentamos aquí un análisis cualitativo si entrar en las cuentas.

Vamos a demostrar que, de la misma forma que ocurre con las medidas temporales, las medidas espaciales también dependen del observador. (No obstante, en esta primera aproximación sólo vamos a llegar a una conclusión cualitativa. Más adelante, cuando estudiemos las transformaciones de Lorentz, podremos calcular exactamente la diferencia de medidas.)

Una primera pregunta que nos debemos plantear es: ¿cómo medimos longitudes?

Observemos que en reposo es bien sencillo: observamos dónde están los extremos y restamos las medidas espaciales usando Pitágoras si estamos utilizando coordenadas cartesianas.

¿Y cómo efectuamos la medición cuando el objeto está en movimiento? Debemos observar entonces dónde están los extremos y, en el mismo instante de tiempo, anotar la ubicación espacial para luego aplicar Pitágoras. Ahora bien, ya hemos visto que la simultaneidad es relativa por lo que pueden aparecer problemas.


Un experimento ferroviario

Consideremos un tren que viaja a lo largo de una vía rectilínea con velocidad constante v. El sistema del tren lo llamaremos S mientras que al sistema solidario con la vía o con la estación lo llamaremos S'. Supongamos que el tren pasa por un túnel y consideremos los siguientes eventos:

Evento A: la cola del tren entra en el túnel

Evento B: el morro del tren sale del túnel

Hipótesis de trabajo: Para el sistema tren los sucesos A y B son simultáneos. De esta forma, según el observador S se cumple que la longitud del tren coincide con la longitud del túnel. (Para S la longitud del tren no presenta problemas en su medición ya que está solidario con el tren. Cuando mide el túnel, simplemente debe ser cauteloso y registrar las medidas espaciales de forma simultánea que es precisamente lo que hace.)

La cuestión ahora sería: ¿Qué observa el sistema S' en relación a los eventos A y B? Notemos que este experimento es perfectamente idéntico al que consideramos en su momento cuando hablamos de la relatividad de la simultaneidad. En dicha lección concluimos que el evento A sucedía antes que el evento B para un observador fuera del vagón. De este modo, y aplicando la misma lógica, el observador S' solidario con la vía y el túnel anota que el suceso A ocurre antes que el suceso B.

En otras palabras: para S' la cola del tren entra en el túnel antes de que el morro del tren salga del túnel. Es decir, el observador S' registra que el tren es más corto que el túnel. (De nuevo, remarquemos que el observador S' no tiene problemas para medir la longitud del túnel ya que se encuentra solidario con el mismo. Para calcular la longitud del tren debe estudiar las posiciones de los extremos en el mismo tiempo t'. Si lo hace exactamente en el t' para el que se produce el suceso A resulta que el morro del tren sigue dentro del túnel según su hiperplano de simultaneidad por lo que el tren mide menos que el túnel según sus registros.)


¿Qué es la realidad?

Es posible que nos resistamos a aceptar este tipo de experimentos ya que sus resultados entran en conflicto con lo que es nuestra intuición del día a día. Sin embargo, un examen minucioso nos llevará a concluir que no existe ninguna contradicción y que el esquema es completamente consistente. La cuestión ahora es: ¿qué está pasando realmente?

Para aclararnos lo más sencillo es comprar la longitud del tren y del túnel cuando ambos se encuentran en reposo. Si lo hiciéramos y midiéramos los extremos de ambos objetos obtendríamos que la longitud del tren es menor que la longitud del túnel. (A esta longitud se le llama longitud en reposo o longitud propia para remarcar que la medimos solidariamente con el objeto en cuestión.)

Si se encuentran en movimiento relativo tal y como hemos descrito anteriormente tenemos dos conclusiones compatibles:

1) según el sistema tren S es el túnel el que se está moviendo y su longitud (la del túnel) se contrae hasta igualar a la del tren (ojo: porque la velocidad y las longitudes cuadran para que esto sea así; lo esencial es que el túnel se contrae y lo accesorio es que las longitudes coinciden); y

2) según el sistema estación S' es el tren el que se está moviendo y su longitud (la del tren) se contrae por lo que la longitud del tren es menor que la longitud del túnel. De hecho, es más pequeña que cuando comparamos ambas longitudes en reposo.

En resumidas cuentas: las medidas espaciales también son relativas y dependen del estado físico del sistema que efectúa dichas medidas. La longitud de un objeto en movimiento se contrae por lo que la máxima medida espacial se obtiene cuando el objeto está en reposo o solidario con respecto al sistema que registra las medidas. (Es lo que llamamos longitud propia en clara analogía con el tiempo propio que también tiene esta propiedad: es la mínima medida temporal entre dos eventos cuando ambos sucesos se registran en la misma posición espacial de un sistema. Cualquier otro sistema medirá una mayor duración.)

Ejemplo. Un viaje espacial

Supongamos que viajamos en un cohete y nos planteamos atravesar de punta a punta la Vía Láctea. Parece un recorrido algo largo ya que el diámetro de nuestra galaxia ronda los 100.000 años luz. Pero no tenemos miedo: nuestro cohete alcanza velocidades muy altas y es capaz de viajar a v=\lambda c siendo 0\leq\lambda<1. Haciendo una sencilla regla de tres concluimos que, desde el punto de vista del sistema galaxia, el viaje dura t años donde

    \[ t=\frac{100.000}{\lambda}. \]

La cuestión es: ¿nos dará tiempo a efectuar el viaje completo de punta a punta en lo que dura una vida normal? En principio podría parecer que no, pero recordemos que el tiempo es relativo por lo que la manera de medir el tiempo en el cohete no es la misma que la forma de hacerlo en reposo respecto a la galaxia. De hecho, ocurre que

    \[ t= \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \]

donde t_0 es el tiempo medido para un tic-tac en la nave y t el tiempo para ese mismo tic-tac según lo registra el observador solidario con la galaxia. De este modo tendríamos

    \[ \frac{100.000}{\lambda}=\frac{t_0}{\sqrt{1-\lambda^2}} \]

y queda claro que haciendo \lambda tender a uno el tiempo propio t_0 del que viaja en la nave tiende a cero.

(Enseguida podremos hacer este mismo ejercicio desde la óptica del que va montado en la nave. ¿En qué cambia la película? ¿Puedes llegar a una primera conclusión?)

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