- Introducción a Geometría de Riemann
Presentación del curso. ¿Quién fue Riemann? Geometría en dimensión arbitraria. Geometría sin hacer referencia al espacio ambiente.
- Variedad topológica
Definición de variedad topológica. Dimensión de una variedad. Carta coordenada. Ejemplos de variedades topológicas: 1) grafos de funciones continuas, 2) esferas n-dimensionales, 3) espacios proyectivos, 4) variedades producto, 5) toros n-dimensionales. Propiedades topológicas de las variedades.
- Variedad diferenciable
Cambio de coordenadas o aplicación transición. Cartas compatibles. Atlas diferenciable. Atlas maximal. Estructura diferenciable. Variedad diferenciable. Ejemplos de variedades. Variedades 0-dimensionales. Espacios euclídeos o euclidianos. Una estructura diferenciable distinta para la recta real. Espacios vectoriales de dimensión finita. Espacios de matrices. Subvariedades abiertas. El grupo general lineal. Esferas n-dimensionales. Espacios productivos. Espacios producto.
- Aplicaciones diferenciables y difeomorfismos
Distinción entre función y aplicación. Función diferenciable. Representación en coordenadas de una función. Aplicación diferenciable. Algunos ejercicios sencillos. Ejemplos de funciones y aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos. Ejemplos.
- Función salto y aplicaciones
Construcción de la función salto. Existencia de la función salto en una variedad. Aplicación 1: extensión de funciones. Aplicación 2: extensión de campos.
- Vectores tangentes
La dificultad para definir un vector tangente a una variedad. Vectores como derivaciones. Vectores tangentes a una variedad. El espacio tangente. La base de las parciales. Ejemplos. Vectores tangentes de una superficie regular. Sobre el abuso de notación. Coordenadas polares en el plano.
- La diferencial de una aplicación
La diferencial de una aplicación entre variedades. La diferencial en coordenadas. Caso especial: el cambio de coordenadas. Ejemplos. Coordenadas polares y canónicas. La diferencial de la aplicación antípoda. La velocidad de una curva.
- Campos de vectores
Fibrado tangente. Campo de vectores. Ejemplos de campos de vectores. Los campos como derivaciones en el anillo de las funciones diferenciables. El corchete de Lie. Interpretación geométrica del corchete. El corchete en coordenadas.
- Covectores, espacio cotangente y uno-formas
Repaso de álgebra: covectores y espacio dual. Covectores tangentes. Covectores y cambio de coordenadas. Covarianza y contravarianza. La diferencial de una función es un covector. Ejemplos. Campos de covectores o uno-formas.
- Tensores
Repaso de álgebra multilineal. Tensores en un espacio vectorial. Producto tensorial. Tensores covariantes, contravariantes y mixtos. Bases para los espacios de tensores. Tensores sobre una variedad. Bases y coordenadas. Interpretación alternativa de los tensores. Carácter puntual de los tensores. La contracción de un tensor. Una nueva caracterización para los tensores.
- Métricas riemannianas
Métricas en una variedad. Tipos de métrica según el índice. La métrica en coordenadas. Ejemplos de métricas. La métrica inducida por una inmersión. El pull-back de un tensor covariante. Muchos más ejemplos. La métrica producto.
- Los espacios modelo de la geometría riemanniana
Los espacios modelo. El espacio euclídeo n-dimensional. Homogeneidad. Isotropía. La esfera n-dimensional. El espacio hiperbólico n-dimensional y sus diferentes realizaciones.
- La conexión euclidea
El problema de derivar campos de vectores. Conexión afín euclídea. Propiedades. Carácter puntual y local de la conexión afín euclídea.
- Conexiones afines
Conexión afín en una variedad. Propiedades de la conexión. Ejemplos de conexiones afines. Conexión afín euclídea. Conexión inducida en una superficie regular.
- La conexión en coordenadas
La conexión en coordenadas. Los símbolos de la conexión. Ejemplos. Existencia de conexiones afines.
- Derivada covariante
Campos a lo largo de una curva. Ejemplos. Derivada covariante a lo largo de una curva. Existencia y unicidad.
- Geodésicas y transporte paralelo
Geodésicas respecto de una conexión afín. Transporte paralelo. Ejemplos. Conexiones y métricas: ¿hay alguna relación entre ambos conceptos?
- La conexión de Levi-Civita
Conexión compatible con la métrica. Conexión simétrica. Tensor torsión. Teorema fundamental de la geometría de Riemann. Fórmula de Koszul. Símbolos de Christoffel. Conexión de Levi-Civita.
- Curvatura de Riemann
Preliminares: ¿cuál es el camino? El operador curvatura. El tensor curvatura. Identidad de Bianchi. Versión covariante del tensor de Riemann. Simetrías del tensor de Riemann. El tensor de Riemann mide la conmutatividad de la derivada covariante. Curvatura seccional. Curvatura seccional y curvatura de Gauss.
- La ecuación de Jacobi
Familia de geodésicas. Ecuación de Jacobi. Interpretación geométrica. Ejemplos. Posición relativa de una geodésica respecto de otra. El campo variacional como una medida de la posición. Justificación.
- Sobre el concepto de relatividad
¿Acaso todo es relativo? ¿No existe algo absoluto para poder asegurarnos?
- En busca del éter luminífero
Las ecuaciones de Maxwell plantean un escenario nuevo en el que sí es posible detectar el espacio absoluto mediante experimentos físicos. Veremos por qué esto es así y de qué forma influyó a Einstein en sus ideas.
- El experimento de Michelson-Morley
Explicación del experimento de Michelson-Morley primero en base a una analogía sencilla y luego con el aparato propiamente dicho. También presentamos algunas de las consecuencias directas.
- Postulados de la Relatividad Especial
Basándonos en el artículo de 1905 de Einstein, presentamos los postulados de la Relatividad Especial y definimos con precisión qué es un sistema de referencia.
- La simultaneidad es relativa
El hecho de que la simultaneidad es relativa es la primera de las consecuencias que Einstein apunta en su artículo de 1905. Presentamos aquí una deducción de este hecho basada en sus postulados.
- La dilatación del tiempo
De cómo cuando vemos un partido de fútbol en un dirigible a velocidad v el partido dura más de 90 minutos. (Sin contar el añadido.)
- La contracción de longitudes
La contracción de longitudes es otra de las consecuencias directas de los postulados de la relatividad especial. Presentamos aquí un análisis cualitativo si entrar en las cuentas.
- Las transformaciones de Lorentz
Partiendo de las transformaciones de Galileo y asumiendo los postulados de la relatividad especial deducimos las transformaciones de Lorentz.
- Comentarios sobre las transformaciones de Lorentz
Vamos a estudiar en esta lección algunas de las consecuencias más importantes de las transformaciones de Lorentz. Si bien estas transformaciones aparecen de forma natural en el artículo de 1905 de Einstein que ya hemos citado, no es hasta 1908 cuando el matemático Hermann Minkowski aprovecha todas las simetrías y posibilidades de estos cambios de ...
- La geometría de Minkowski
En la geometría plana de Euclides los procedimientos básicos para medir longitudes, áreas y ángulos descansan en el producto escalar o interior dado por
A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido ...
- La física vista desde la geometría de Minkowski
Vamos a revisar algunos fenómenos de la relatividad especial a la luz de la geometría de Minkowski. Veremos entonces que no es necesario elaborar complejos argumentos y sofisticados experimentos mentales para demostrar que el espacio y el tiempo son relativos.
El futuro objetivo
Dado un sistema con coordenadas nos podríamos preguntar, ¿cuál es el ...
- Cinemática y dinámica relativista
El estudio del movimiento de los cuerpos se consolida con las conocidas leyes de Newton del movimiento que todo buen estudiante de secundaria conoce. Las recordamos:
1. Cada cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento uniforme a lo largo de una línea recta a menos que una fuerza actúe sobre el mismo.
2. El cambio ...
- Tiempo propio
Tiempo propio
- Sistemas de referencia en rotación
Pongo unas notas y luego completaré con textos.
Proyección de Miller
- Relojes en un campo gravitatorio
El tiempo (y los relojes) en un campo gravitatorio discurre de manera distinta en función de la altura a la que se encuentra el observador que lo mide.
- GPS y Relatividad (I)
Explicamos a nivel teórico cómo influye la teoría de la relatividad para asegurar el correcto funcionamiento del GPS.
- GPS y Relatividad (II)
Estudiamos los efectos cuantitativos de la relatividad en el funcionamiento del GPS para discernir cuáles de ellos son los más importantes.
- Principio de equivalencia y gravedad clásica
Os incluyo aquí parte de un curso que impartí en la Universidad de Córdoba. Me interesa especialmente que le echéis un vistazo serio a la primera parte de la conferencia. Os recomiendo descargar directamente el PDF aquí, aunque también le podéis echar un vistazo en el navegador en esta pequeña ventana:
- Ecuación de campo gravitatoria clásica en el vacío
Ecuación de campo gravitatoria clásica en el vacío
- Interpretación de la ecuación de campo gravitatoria clásica
Interpretación de la ecuación de campo gravitatoria clásica
- Ecuación de campo de Einstein en el vacío
Ecuación de campo de Einstein en el vacío
- La solución de Schwarzschild
Apenas unos meses después de la publicación por parte de Einstein de su ecuación de campo, el matemático Karl Schwarzschild dedujo la primera solución explícita. Para ello utiliza de manera exhaustiva que:
1) el problema es estático de suerte que los coeficientes de la métrica (las incógnitas) no dependen de la variable tiempo, y
2) el problema ...
- El límite Newtoniano. Aspectos pasivos.
Con objeto de determinar la constante que aparece en la solución de Schwarzschild en la anterior lección vamos a hacer lo siguiente. Sabemos que la gravedad clásica explica y predice perfectamente los fenómenos observados en el sistema solar por lo que se trata de una teoría excelente. La relatividad general debe mostrar las mismas ...
- La solución de Schwarzschild. Segunda parte
En la lección anterior imponíamos que la GR debe coincidir con la gravedad clásica cuando nos encontramos en el ambiente del sistema solar (campo débil) a velocidades normales (bajas). Utilizando estas hipótesis encontramos una expresión explícita para el coeficiente de la métrica siendo una métrica que difiere muy poco de la métrica de ...
- Órbitas en la teoría de Newton
Una vez establecida la métrica de Schwarzschild vamos a encontrar las órbitas de los planetas (órbitas materiales) así como las trayectorias (órbitas) luminosas. Para ello debemos antes entender cómo funcionan las órbitas en la teoría clásica de la gravedad de Newton. Así podremos comparar las predicciones de una y otra teoría.
- Un argumento de simetría
En la lección sobre las órbitas en la teoría de Newton comprobamos que, al ser la gravedad una fuerza central, las órbitas eran planas. Esta reducción de las dimensiones del problema sucede, igualmente, en el caso relativista. Si bien este hecho puede demostrarse por diferentes caminos, nosotros hemos elegido aquí un elegante argumento de simetría ...
- Órbitas materiales en la geometría de Schwarzschild
La primer prueba superada por la teoría de Einstein fue la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio. Se trataba de un efecto observado en la órbita del planeta más cercano al sol en nuestro sistema: cada 100 años terrestres se producía un avance en el perihelio de 5557 segundos de arco y la ...
- Órbitas luminosas en la geometria de Schwarzschild
Si bien la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio le valió a Einstein para confirmar que su teoría era correcta, la comunidad científica reaccionó con cierto escepticismo a las cuentas ya que, como habéis podido comprobar vosotros mismos, se requieren muchas aproximaciones para llegar a buen puerto. Y claro: cuando se sabe a ...
