Gravitación https://gravitacion.es/ Geometría § Relatividad § Universo Wed, 03 Sep 2025 09:58:17 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.9.5 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png Gravitación https://gravitacion.es/ 32 32 El peine borrado https://gravitacion.es/el-peine-borrado/ https://gravitacion.es/el-peine-borrado/#respond Tue, 03 May 2022 07:24:04 +0000 https://gravitacion.es/?p=2299 Presentamos aquí un ejemplo de un espacio topológico que es conexo pero no conexo por arcos.

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]]> Es un ejercicio bastante sencillo demostrar que un espacio conexo por arcos es también conexo. De inmediato, surge una nueva cuestión: ¿es todo espacio conexo también conexo por arcos?

La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, negativa.Los matemáticos tendemos mucho a economizar notación, definiciones y esfuerzo. ¿Cómo íbamos a llamar de dos formas distintas a un mismo concepto? Para justificar la respuesta, el modo más rápido y directo consiste en encontrar un ejemplo que ilustre nuestra afirmación. Y a eso nos vamos a dedicar en estas líneas. (En realidad, se trata de un contraejemplo, pues estamos respondiendo en negativo.)La prueba de este ejemplo está extraída de la magnífica web del profesor Keith Conrad.

Aunque a lo largo de estas notas vamos a trabajar con el espacio \mathbf{R}^2 equipado con la topología usual, vamos a comenzar estudiando un conjunto de la recta real \mathbf{R} (también con la topología usual) dado por

    \[ K= \{1/n : n \in \mathbf{N} \}. \]

Es claro que la adherencia de este conjunto es

    \[ \overline{K}= \{1/n : n \in \mathbf{N} \} \cup \{ 0\}. \]

Vamos a demostrar ahora el siguiente resultado.

Proposición

El conjunto \overline{K} es totalmente disconexo, es decir, sus únicos subconjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. (Otro modo de enunciarlo sería: sus componentes conexas son conjuntos unipuntuales.)

Demostración. Sea C un subconjunto conexo del espacio \overline{K}. Supongamos que C contiene un elemento de la forma 1/n para algún n \in \mathbf{N}. Vamos a demostrar que C=\{1/n\}. ¿Cómo? Supongamos que C contiene algún otro elemento, además del 1/n. Podemos considerar entonces la separación de C dada por

    \[ C= (C \setminus \{1/n\} ) \cup \{1/n\}. \]

Es claro que la expresión anterior constituye una separación de C pues el conjunto unipuntual \{1/n\} es abierto y cerrado en C y se trata de conjuntos no vacíos. Pero entonces C no puede ser conexo. Conclusión: C es un conjunto unipuntual dado por C=\{1/n\}.

La única posibilidad que nos queda es que C no contenga elementos de la forma 1/n, por tanto C=\{0\} y esto finaliza la prueba. \Box

A continuación, definimos el siguiente subconjunto del plano.

    \[ P_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(K \times [0,1] \right). \]

Observemos que el conjunto P_{\infty} es un peine con infinitas púas que se van acumulando en el eje de ordenadas. Es claro que P_{\infty} es un espacio conexo por arcos pues cualquier par de puntos puede unirse mediante segmentos de recta. Por tanto, también es un espacio conexo.

El peine borrado y algunos de sus elementos más importantes. (La escala en el eje de ordenadas está disminuida para una mejor visualización.)

Si calculamos la adherencia de P_{\infty} obtenemos un peine con una púa adicional, la que parte del origen hasta el punto p:=(0,1). Así pues se puede escribir

    \[ \overline{P}_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(\overline{K} \times [0,1] \right). \]

La prueba de que este conjunto es la adherencia se efectúa simplemente considerando sucesiones de la forma x_n=(1/n,y_0) con y_0 \in [0,1]. La sucesión (x_n) claramente converge al punto (0,y_0) y se prueba la anterior igualdad. A continuación, llamaremos X al siguiente espacio:

    \[ X= \overline{P}_{\infty} \setminus \left(\{0\} \times (0,1) \right). \]

El espacio X con la topología inducida del plano se llama el peine borrado.En los manuales y la bibliografía suele encontrarse como deleted comb. Intuitivamente, es un peine de infinitas púas al que se le ha arrancado la última (la del eje de ordenadas) pero manteniendo el punto p=(0,1).

Recordemos ahora la siguiente propiedad: si S es un conjunto tal que

    \[ Y \subset S \subset \overline{Y} \]

donde Y es conexo, entonces S también es conexo. En particular, \overline{Y} es conexo. (La prueba de este hecho no es complicada y es un ejercicio.) Como se tiene que

    \[ P_{\infty} \subset X \subset \overline{P}_{\infty}, \]

entonces el peine borrado X es un conjunto conexo del plano con la topología usual. Vamos a ver que X no es conexo por arcos. En concreto, vamos a demostrar que el punto p no se puede unir con un arco a ningún otro punto de X. Para ello, sea

    \[ \sigma: [0,1] \rightarrow X \]

un arco cumpliendo \sigma(0)=p. Demostraremos ahora que

    \[ \sigma ([0,1])=\{ p\} \]

y tendremos así que \sigma es un arco constante, luego p no se puede unir con cualquier otro punto de X. Definimos

    \[ A= \{ t\in [0,1]: \sigma(t)=p \}. \]

Entonces tenemos:

  1. A \neq \varnothing pues 0 \in A,
  2. A es cerrado ya que \{p\} es cerrado y A=\sigma^{-1}(\{p\}), y
  3. A es abierto, prueba que nos va a llevar un poco más de trabajo: sea t_0 \in A. Como \sigma es continua, para \varepsilon=1/2 existe un \delta>0 tal que

        \begin{eqnarray*} |t-t_0| < \delta \Rightarrow |\sigma(t)-p|<1/2. \end{eqnarray*}

    Así, si t cumple |t-t_0| < \delta, entonces \sigma(t) no es un punto del eje x y debe estar contenido en alguna de las púas verticales del peine. Consideramos ahora

        \begin{eqnarray*} \pi : & \mathbf{R}^2 & \rightarrow \mathbf{R} \\ & (x,y) & \rightarrow \pi(x,y):=x \end{eqnarray*}

    la proyección sobre la primera coordenada. Claramente \pi es una aplicación continua. Tomamos

        \[ I= (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \cap [0,1] \]

    que es abierto en [0,1] y conexo en la recta real (es la intersección de dos intervalos: un nuevo intervalo) y definimos

        \begin{eqnarray*} f : & I & \rightarrow \mathbf{R} \\ & t & \rightarrow f(t):= \pi (\sigma (t)). \end{eqnarray*}

    Como I es conexo y f es continua, entonces f(I) es un conexo. Ahora bien, f(I) \subset \overline{K} que es totalmente disconexo, por lo que f(I) cae en uno de los conjuntos unipuntuales que conforman el conjunto \overline{K}. Como

        \[ f(t_0)=\pi (\sigma (t_0))=\pi (0,1)=0 \]

    entonces f(t)=0 para todo t \in I y eso implica que \sigma (t) \equiv p para todo t\in I por lo que I \subset A y A es abierto.

Al ser A abierto, cerrado y no vacío en [0,1] se cumple finalmente que A=[0,1] y que \sigma es el arco constante con lo que se acaba la prueba.

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]]> https://gravitacion.es/el-peine-borrado/feed/ 0 Entrada de prueba https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/ https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/#respond Wed, 16 Jun 2021 08:32:24 +0000 https://gravitacion.es/?p=1614 En esta lección vamos a estudiar la primera de las consecuencias que describe Einstein en su artículo de 1905. Nos referimos a que la simultaneidad es relativa: dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia inercial pueden no serlo en otro. Un poquito de código: forget() M = Manifold(3, 'R^3', start_index=1) c_spher. =…

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En esta lección vamos a estudiar la primera de las consecuencias que describe Einstein en su artículo de 1905. Nos referimos a que la simultaneidad es relativa: dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia inercial pueden no serlo en otro.

Un poquito de código:

forget() M = Manifold(3, 'R^3', start_index=1) c_spher. = M.chart(r'r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\phi') g = M.metric('g') g[1,1], g[2,2], g[3,3] = 1, r^2 , (r*sin(th))^2 g.display() nab = g.connection(name='nabla', latex_name=r'\nabla') ; nab

Vamos a explicar esta situación realizando el siguiente experimento. Imaginamos un vagón de tren de longitud L (el resto de dimensiones son irrelevantes) que se desplaza a velocidad v>0 respecto de una estación de tren. (El signo positivo simplemente nos indica que el vagón se desplaza a la derecha.) Vamos a pensar que en cada uno de los extremos del vagón existe una lámpara o una bombilla. También, supongamos que exactamente en el centro del vagón tenemos un dispositivo fotosensible de dos caras de modo que, si recibe al mismo tiempo las dos señales luminosas, el dispositivo explota.

Vamos a explicar esta situación realizando el siguiente experimento. Imaginamos un vagón de tren de longitud L (el resto de dimensiones son irrelevantes) que se desplaza a velocidad v>0 respecto de una estación de tren. (El signo positivo simplemente nos indica que el vagón se desplaza a la derecha.) Vamos a pensar que en cada uno de los extremos del vagón existe una lámpara o una bombilla. También, supongamos que exactamente en el centro del vagón tenemos un dispositivo fotosensible de dos caras de modo que, si recibe al mismo tiempo las dos señales luminosas, el dispositivo explota.

Nota

Cuando tenemos dos sucesos simultáneos en un sistema de referencia que se producen en el mismo punto del espacio, esta simultaneidad siempre es absoluta. Se trata de un simple argumento matemático. Así, el hecho de que el dispositivo explote es simplemente un adorno para fortalecer el argumento pero es totalmente prescindible. Lo decisivo es que las dos señales luminosas lleguen al centro del vagón al mismo tiempo.

Bien, vamos a denotar por A al suceso en el que la bombilla de la izquierda emite su pulso de luz y denotaremos por B al suceso en el que la bombilla de la derecha emite su señal. El esquema sería algo así:

En el sistema de referencia del vagón podemos pensar que el origen está en el extremo izquierdo del mismo. Así, si otorgamos coordenadas a los sucesos A y B tendríamos algo así:

    \[A = (0,t_A) \quad \textrm{y} \quad B = (L,t_B).\]

Leyenda de la imagen

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]]> https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/feed/ 0 La ecuación de Jacobi https://gravitacion.es/la-ecuacion-de-jacobi/ https://gravitacion.es/la-ecuacion-de-jacobi/#respond Fri, 21 May 2021 09:33:18 +0000 https://gravitacion.es/?p=1665 Familia de geodésicas. Ecuación de Jacobi. Interpretación geométrica. Ejemplos. Posición relativa de una geodésica respecto de otra. El campo variacional como una medida de la posición. Justificación.

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Elaboración propia y algunas partes de:

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.

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John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.

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Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

Observación

En otros textos clásicos se demuestra la existencia de la conexión de Levi-Civita partiendo de la fórmula de Koszul. Así se define \nabla_X Y como el único campo que satisface Koszul para cualquier campo Z tangente a M. A continuación, habría que demostrar:

1) que es una conexión afín,
2) que es simétrica, y
3) que es compatible con la métrica.

Esto puede hacerse también sin muchos problemas y es un excelente ejercicio.

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