Gravitación https://gravitacion.es/ GEOMETRÍA • RELATIVIDAD • UNIVERSO Fri, 11 Sep 2026 08:42:52 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=7.1 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png Gravitación https://gravitacion.es/ 32 32 El peine borrado https://gravitacion.es/el-peine-borrado/ https://gravitacion.es/el-peine-borrado/#respond Tue, 03 May 2022 07:24:04 +0000 https://gravitacion.es/?p=2299 Presentamos aquí un ejemplo de un espacio topológico que es conexo pero no conexo por arcos.

La entrada El peine borrado aparece primero en Gravitación.

]]> Es un ejercicio bastante sencillo demostrar que un espacio conexo por arcos es también conexo. De inmediato, surge una nueva cuestión: ¿es todo espacio conexo también conexo por arcos?

La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, negativa.Los matemáticos tendemos mucho a economizar notación, definiciones y esfuerzo. ¿Cómo íbamos a llamar de dos formas distintas a un mismo concepto? Para justificar la respuesta, el modo más rápido y directo consiste en encontrar un ejemplo que ilustre nuestra afirmación. Y a eso nos vamos a dedicar en estas líneas. (En realidad, se trata de un contraejemplo, pues estamos respondiendo en negativo.)La prueba de este ejemplo está extraída de la magnífica web del profesor Keith Conrad.

Aunque a lo largo de estas notas vamos a trabajar con el espacio \mathbf{R}^2 equipado con la topología usual, vamos a comenzar estudiando un conjunto de la recta real \mathbf{R} (también con la topología usual) dado por

    \[ K= \{1/n : n \in \mathbf{N} \}. \]

Es claro que la adherencia de este conjunto es

    \[ \overline{K}= \{1/n : n \in \mathbf{N} \} \cup \{ 0\}. \]

Vamos a demostrar ahora el siguiente resultado.

Proposición

El conjunto \overline{K} es totalmente disconexo, es decir, sus únicos subconjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. (Otro modo de enunciarlo sería: sus componentes conexas son conjuntos unipuntuales.)

Demostración.

Sea C un subconjunto conexo del espacio \overline{K}. Supongamos que C contiene un elemento de la forma 1/n para algún n \in \mathbf{N}. Vamos a demostrar que C=\{1/n\}. ¿Cómo? Supongamos que C contiene algún otro elemento, además del 1/n. Podemos considerar entonces la separación de C dada por

    \[ C= (C \setminus \{1/n\} ) \cup \{1/n\}. \]

Es claro que la expresión anterior constituye una separación de C pues el conjunto unipuntual \{1/n\} es abierto y cerrado en C y se trata de conjuntos no vacíos. Pero entonces C no puede ser conexo. Conclusión: C es un conjunto unipuntual dado por C=\{1/n\}.

La única posibilidad que nos queda es que C no contenga elementos de la forma 1/n, por tanto C=\{0\} y esto finaliza la prueba. \Box

A continuación, definimos el siguiente subconjunto del plano.

    \[ P_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(K \times [0,1] \right). \]

Observemos que el conjunto P_{\infty} es un peine con infinitas púas que se van acumulando en el eje de ordenadas. Es claro que P_{\infty} es un espacio conexo por arcos pues cualquier par de puntos puede unirse mediante segmentos de recta. Por tanto, también es un espacio conexo.

El peine borrado y algunos de sus elementos más importantes. (La escala en el eje de ordenadas está disminuida para una mejor visualización.)

Si calculamos la adherencia de P_{\infty} obtenemos un peine con una púa adicional, la que parte del origen hasta el punto p:=(0,1). Así pues se puede escribir

    \[ \overline{P}_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(\overline{K} \times [0,1] \right). \]

La prueba de que este conjunto es la adherencia se efectúa simplemente considerando sucesiones de la forma x_n=(1/n,y_0) con y_0 \in [0,1]. La sucesión (x_n) claramente converge al punto (0,y_0) y se prueba la anterior igualdad. A continuación, llamaremos X al siguiente espacio:

    \[ X= \overline{P}_{\infty} \setminus \left(\{0\} \times (0,1) \right). \]

El espacio X con la topología inducida del plano se llama el peine borrado.En los manuales y la bibliografía suele encontrarse como deleted comb. Intuitivamente, es un peine de infinitas púas al que se le ha arrancado la última (la del eje de ordenadas) pero manteniendo el punto p=(0,1).

Recordemos ahora la siguiente propiedad: si S es un conjunto tal que

    \[ Y \subset S \subset \overline{Y} \]

donde Y es conexo, entonces S también es conexo. En particular, \overline{Y} es conexo. (La prueba de este hecho no es complicada y es un ejercicio.) Como se tiene que

    \[ P_{\infty} \subset X \subset \overline{P}_{\infty}, \]

entonces el peine borrado X es un conjunto conexo del plano con la topología usual. Vamos a ver que X no es conexo por arcos. En concreto, vamos a demostrar que el punto p no se puede unir con un arco a ningún otro punto de X. Para ello, sea

    \[ \sigma: [0,1] \rightarrow X \]

un arco cumpliendo \sigma(0)=p. Demostraremos ahora que

    \[ \sigma ([0,1])=\{ p\} \]

y tendremos así que \sigma es un arco constante, luego p no se puede unir con cualquier otro punto de X. Definimos

    \[ A= \{ t\in [0,1]: \sigma(t)=p \}. \]

Entonces tenemos:

  1. A \neq \varnothing pues 0 \in A,
  2. A es cerrado ya que \{p\} es cerrado y A=\sigma^{-1}(\{p\}), y
  3. A es abierto, prueba que nos va a llevar un poco más de trabajo: sea t_0 \in A. Como \sigma es continua, para \varepsilon=1/2 existe un \delta>0 tal que

        \begin{eqnarray*} |t-t_0| < \delta \Rightarrow |\sigma(t)-p|<1/2. \end{eqnarray*}

    Así, si t cumple |t-t_0| < \delta, entonces \sigma(t) no es un punto del eje x y debe estar contenido en alguna de las púas verticales del peine. Consideramos ahora

        \begin{eqnarray*} \pi : & \mathbf{R}^2 & \rightarrow \mathbf{R} \\ & (x,y) & \rightarrow \pi(x,y):=x \end{eqnarray*}

    la proyección sobre la primera coordenada. Claramente \pi es una aplicación continua. Tomamos

        \[ I= (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \cap [0,1] \]

    que es abierto en [0,1] y conexo en la recta real (es la intersección de dos intervalos: un nuevo intervalo) y definimos

        \begin{eqnarray*} f : & I & \rightarrow \mathbf{R} \\ & t & \rightarrow f(t):= \pi (\sigma (t)). \end{eqnarray*}

    Como I es conexo y f es continua, entonces f(I) es un conexo. Ahora bien, f(I) \subset \overline{K} que es totalmente disconexo, por lo que f(I) cae en uno de los conjuntos unipuntuales que conforman el conjunto \overline{K}. Como

        \[ f(t_0)=\pi (\sigma (t_0))=\pi (0,1)=0 \]

    entonces f(t)=0 para todo t \in I y eso implica que \sigma (t) \equiv p para todo t\in I por lo que I \subset A y A es abierto.

Al ser A abierto, cerrado y no vacío en [0,1] se cumple finalmente que A=[0,1] y que \sigma es el arco constante con lo que se acaba la prueba.

La entrada El peine borrado aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/el-peine-borrado/feed/ 0 Entrada de prueba https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/ https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/#respond Wed, 16 Jun 2021 08:32:24 +0000 https://gravitacion.es/?p=1614 En esta lección vamos a estudiar la primera de las consecuencias que describe Einstein en su artículo de 1905. Nos referimos a que la simultaneidad es relativa: dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia inercial pueden no serlo en otro. Un poquito de código: forget() M = Manifold(3, 'R^3', start_index=1) c_spher. =…

La entrada Entrada de prueba aparece primero en Gravitación.

]]>

En esta lección vamos a estudiar la primera de las consecuencias que describe Einstein en su artículo de 1905. Nos referimos a que la simultaneidad es relativa: dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia inercial pueden no serlo en otro.

Un poquito de código:

forget()
M = Manifold(3, 'R^3', start_index=1)
c_spher. = M.chart(r'r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\phi')
g = M.metric('g')
g[1,1], g[2,2], g[3,3] = 1, r^2 , (r*sin(th))^2
g.display()
nab = g.connection(name='nabla', latex_name=r'\nabla') ; nab

Vamos a explicar esta situación realizando el siguiente experimento. Imaginamos un vagón de tren de longitud L (el resto de dimensiones son irrelevantes) que se desplaza a velocidad v>0 respecto de una estación de tren. (El signo positivo simplemente nos indica que el vagón se desplaza a la derecha.) Vamos a pensar que en cada uno de los extremos del vagón existe una lámpara o una bombilla. También, supongamos que exactamente en el centro del vagón tenemos un dispositivo fotosensible de dos caras de modo que, si recibe al mismo tiempo las dos señales luminosas, el dispositivo explota.



Vamos a explicar esta situación realizando el siguiente experimento. Imaginamos un vagón de tren de longitud L (el resto de dimensiones son irrelevantes) que se desplaza a velocidad v>0 respecto de una estación de tren. (El signo positivo simplemente nos indica que el vagón se desplaza a la derecha.) Vamos a pensar que en cada uno de los extremos del vagón existe una lámpara o una bombilla. También, supongamos que exactamente en el centro del vagón tenemos un dispositivo fotosensible de dos caras de modo que, si recibe al mismo tiempo las dos señales luminosas, el dispositivo explota.

Nota

Cuando tenemos dos sucesos simultáneos en un sistema de referencia que se producen en el mismo punto del espacio, esta simultaneidad siempre es absoluta. Se trata de un simple argumento matemático. Así, el hecho de que el dispositivo explote es simplemente un adorno para fortalecer el argumento pero es totalmente prescindible. Lo decisivo es que las dos señales luminosas lleguen al centro del vagón al mismo tiempo.

Bien, vamos a denotar por A al suceso en el que la bombilla de la izquierda emite su pulso de luz y denotaremos por B al suceso en el que la bombilla de la derecha emite su señal. El esquema sería algo así:

En el sistema de referencia del vagón podemos pensar que el origen está en el extremo izquierdo del mismo. Así, si otorgamos coordenadas a los sucesos A y B tendríamos algo así:

    \[A = (0,t_A) \quad \textrm{y} \quad B = (L,t_B).\]

Leyenda de la imagen

La entrada Entrada de prueba aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/entrada-de-prueba/feed/ 0 Variedad diferenciable https://gravitacion.es/variedad-diferenciable/ https://gravitacion.es/variedad-diferenciable/#respond Mon, 28 Sep 2020 08:58:16 +0000 https://gravitacion.es/?p=1386 Cambio de coordenadas o aplicación transición. Cartas compatibles. Atlas diferenciable. Atlas maximal. Estructura diferenciable. Variedad diferenciable. Ejemplos de variedades. Variedades 0-dimensionales. Espacios euclídeos o euclidianos. Una estructura diferenciable distinta para el plano. Espacios vectoriales de dimensión finita. Espacios de matrices. Subvariedades abiertas. El grupo general lineal. Esferas n-dimensionales. Espacios proyectivos. Espacios producto.

La entrada Variedad diferenciable aparece primero en Gravitación.

]]> Bibliografía

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 1.

La definición de variedad topológica que hemos proporcionado en la lección anterior nos permite estudiar, valga la redundancia, las propiedades topológicas de estos espacios: compacidad, conexión, clasificación, etc. No obstante, en ningún momento se hace mención al cálculo diferencial.

Para abordar esta circunstancia necesitamos ir más allá y debemos introducir la noción de variedad diferenciable. Ésta será una variedad topológica con una estructura extra que nos permitirá definir cuándo una función real es diferenciable, o no, sobre la variedad. Así mismo, nos llevará a construir todas las herramientas del cálculo diferencial: diferencial de una aplicación, integración, formas, etc.

Comencemos con algunas definiciones básicas para saber dónde estamos. Dados U y V abiertos de \mathbb{R}^n y \mathbb{R}^m respectivamente, una función F: U \rightarrow V se dice diferenciable si cada una de sus componentes tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes. Si, además, F es biyectiva y tiene inversa diferenciable, entonces diremos que es un difeomorfismo. De este modo, un difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo. (Obsérvese que nuestra definición de diferenciabilidad es súper exigente en comparación con la clásica del análisis.)

Sea ahora M una variedad topológica n-dimensional y sean (U,\phi), (V,\psi) dos cartas tales que U \cap V \neq \varnothing. La aplicación

    \[ \psi \circ \phi^{-1} : \phi(U\cap V) \rightarrow \psi (U\cap V) \]

se llama la aplicación cambio de coordenadas (o aplicación transición) de la carta \phi a la carta \psi. Observemos que se trata de una composición de homeomorfismos y, por tanto, también es un homeomorfismo entre abiertos de \mathbb{R}^n.

Diremos que dos cartas (U,\phi) y (V,\psi) son compatibles si, o bien U y V tienen intersección vacía, o bien el cambio de coordenadas \psi \circ \phi^{-1} es un difeomorfismo en el sentido que hemos definido previamente (derivadas parciales continuas de todos los órdenes y biyectividad).

En la práctica, por resultados conocidos de funciones de varias variables, para demostrar que dos cartas son compatibles lo más rápido consiste en probar que:

1) el cambio de coordenadas es diferenciable, y
2) el jacobiano es siempre distinto de cero.

Una vez estudiado el concepto de carta compatible pasamos a la siguiente definición.

Definición. Atlas diferenciable

Se define un atlas \mathcal{A} sobre M como una colección de cartas cuyos dominios cubren por completo la variedad topológica M. Diremos que un atlas \mathcal{A} es diferenciable si, para cada pareja de cartas en el atlas, ambas son compatibles.

Merece la pena hacer ahora la siguiente observación en relación al concepto de atlas.

Observación. Atlas maximal

Dada una única variedad topológica podría darse el caso de tener dos atlas diferentes cuyas cartas fueran compatibles entre sí. Así, podemos tomar como ejemplo M=\mathbb{R}^n equipado con los dos siguientes atlas:

    \begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1 & = & \{ \left( \mathbb{R}^n, \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^n} \right) \}, \\ \mathcal{A}_2 & = & \{ \left( B(x,1), \mathrm{Id}_{B(x,1)} \right): x \in \mathbb{R}^n \}. \end{eqnarray*}

Aunque se trata de dos atlas distintos, vemos que las cartas son compatibles entre ambos. En este sentido, sería deseable tener un atlas único que englobara a todos los posibles. ¿Verdad?

A la vista de la anterior observación se tiene la siguiente definición: un atlas \mathcal{A} en M se dice que es maximal si no está contenido, propiamente, en un atlas mayor. Esto significa que cualquier carta que sea compatible con todas las cartas de \mathcal{A} ya está contenida en el propio atlas \mathcal{A}. Un atlas maximal diferenciable en M se dice que es una estructura diferenciable sobre M.

Llegamos así al concepto central de esta lección.

Definición. Variedad diferenciable

El par formado por una variedad topológica M y una estructura diferenciable \mathcal{A} sobre dicho conjunto se dice que es una variedad diferenciable.

Queremos insistir en la siguiente idea: una estructura diferenciable es una capa adicional de datos que añadimos a una variedad topológica para convertirla en variedad diferenciable. Dada una misma variedad topológica, ésta puede admitir diferentes estructuras diferenciables. (Más aún: hay variedades topológicas tan extrañas que no admiten estructuras diferenciables. ¡Ninguna!)

A efectos prácticos no es conveniente definir una estructura diferenciable describiendo explícitamente el atlas maximal. Nos moriríamos antes de terminar dicha tarea. Por suerte, podemos quedarnos en el siguiente resultado que damos sin prueba.

Proposición

Sea M una variedad topológica. Entonces:

a) Cada atlas diferenciable \mathcal{A} sobre M está contenido en una única estructura diferenciable. Dicha estructura diferenciable, unívocamente determinada por \mathcal{A}, la denotaremos por comodidad de la misma forma.

b) Dos atlas diferenciables para M determinan la misma estructura diferenciable si, y sólo si, su unión es un atlas diferenciable, esto es, si sus cartas son compatibles.

Ejemplos de variedades diferenciables

Los escribimos a mano.

Variedades 0-dimensionales

Espacios euclídeos o euclidianos

Otra estructura diferenciable para el plano

Consideremos \mathbb{R}^2 como espacio topológico con la topología usual. Una carta sencilla para este espacio sería la propia identidad y con ella conseguimos una estructura diferenciable sobre el plano (La estructura diferencial estándar del plano.) dada por el atlas

    \[ \mathcal{A}_u = \{ \left( \mathbb{R}^n, \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^n} \right) \}. \]

No obstante, podríamos considerar la función \psi(u,v)=(u^{1/3},v^{1/3}) que, claramente, es biyectiva con inversa continua. Tendríamos así que el par

    \[ (\mathbb{R}^2, \psi) \]

es una carta (global) sobre el plano. Dicha carta nos proporciona un nuevo atlas dado por

    \[ \mathcal{A}_r & = & \{ \left( \mathbb{R}^2, \psi \right) \}. \]

Es sencillo comprobar que estos atlas no son compatibles. Por tanto, generan diferentes estructuras diferenciables sobre el plano.

Espacios vectoriales de dimensión finita

Espacios de matrices

Subvariedades abiertas

El grupo general lineal

Esferas

Proyectivos

Productos

La entrada Variedad diferenciable aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/variedad-diferenciable/feed/ 0 Variedad topológica https://gravitacion.es/variedad-topologica/ https://gravitacion.es/variedad-topologica/#respond Mon, 21 Sep 2020 10:12:46 +0000 https://gravitacion.es/?p=1328 Definición de variedad topológica. Dimensión de una variedad. Carta coordenada. Ejemplos de variedades topológicas: 1) grafos de funciones continuas, 2) esferas n-dimensionales, 3) espacios proyectivos, 4) variedades producto, 5) toros n-dimensionales. Propiedades topológicas de las variedades.

La entrada Variedad topológica aparece primero en Gravitación.

]]> Biblio

Introduction to Smooth Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2013. Capítulo 1.

En este tema vamos a estudiar variedades topológicas. En primera instancia, nos referimos a espacios que, localmente, son idénticos —desde un punto de vista topológico— a algún espacio \mathbf{R}^n y en los cuales podremos hacer cálculo cuando tengamos las herramientas adecuadas.

Los ejemplos más familiares de variedades topológicas serían las curvas planas como, por ejemplo, los círculos y las parábolas (para las que n=1). También las superficies regulares como esferas, toros, elipsoides, paraboloides, hiperboloides y las de revolución (en las cuales, n=2). Y no solamente superficies regulares, sino también superficies abstractas como la botella de Klein y el plano proyectivo. Finalmente, ejemplos de mayor dimensión incluyen las n-esferas así como los grafos de aplicaciones continuas entre espacios euclídeos.

Veamos la definición de variedad topológica que es la más importante de esta lección:

Definición. Variedad topológica

Sea M un espacio topológico. Diremos que M es una variedad topológica de dimensión n o una n-variedad topológica si:

VT1) M es un espacio Hausdorff: para cada par de puntos p,q distintos de M existen abiertos U,V disjuntos con p\in U y q\in V,

VT2) M es segundo axioma de numerabilidad: existe una base numerable para la topología de M, y

VT3) M es localmente euclídeo con dimensión n: cada punto de M está en un abierto que es homeomorfo a un abierto de \mathbf{R}^n.

La tercera propiedad significa exactamente que, para todo p\in M, se cumple:

i) podemos encontrar un abierto U de M con p \in U,
ii) existe un abierto \tilde{U} de \mathbf{R}^n, y
iii) existe un homeomorfismo entre abiertos

    \[\phi: U \rightarrow \tilde{U}.\]

En esencia, una variedad topológica es un espacio (topológico) razonablemente bueno que satisface la propiedad VT3 siendo esta la más característica. La cuestión que surge es: ¿por qué exigimos entonces VT1 y VT2 en la definición? La respuesta es que existen construcciones extrañas de objetos que son localmente como un \mathbf{R}^n pero que albergan propiedades desconcertantes. Así VT1 es necesaria para la unicidad de los límites convergentes mientras que VT2 es básica para construir las particiones diferenciables de la unidad, una herramienta que permite extender globalmente objetos definidos en el ámbito local.

En la práctica, es sencillo comprobar si una variedad es Hausdorff y segundo axioma ya que ambas propiedades son hereditarias por subespacios y productos finitos. En particular, es obvio que todo abierto de una variedad topológica n-dimensional es, de nuevo, una variedad topológica n-dimensional. (Demuéstralo como ejercicio.)

Ejemplos patológicos

Espacio topológico localmente euclídeo, segundo axioma, que no es Hausdorff: sea X el conjunto de todos los puntos (x,y) del plano tales que y=\pm 1 y sea M el cociente de X por la relación de equivalencia dada por (x,-1) \equiv (x,1) para todo x \neq 0. Este espacio se llama la línea con dos orígenes.

Ejercicio: demuestra que cumple VT2, VT3, pero no VT1.

Variedad localmente euclidea, Hausdorff que no es segundo axioma: la unión disjunta de una cantidad no numerable de copias de \mathbf{R}.

La dimensión de una variedad

Si M es una variedad topológica de dimensión n, escribiremos entonces \textrm{dim}M=n. Otras veces diremos únicamente: «sea M^n una variedad» para abreviar. Una vez aclarada la dimensión, normalmente no se vuelve a especificar como superíndice.

Observación. El problema de la dimensión

A lo largo de estas lecciones nuestras variedades tendrán una dimensión bien definida. Excluimos así, y por convenio, situaciones como la siguiente: la unión disjunta de una recta y un plano cumplen con la definición de variedad topológica pero una de las componentes conexas tiene dimensión 1 (la recta, evidentemente) mientras que el plano tiene dimensión 2.

Por otra parte, si una variedad topológica es conexa, entonces existen argumentos topológicos (fuera del alcance de este curso: invarianza del dominio de Brouwer, cohomología de De Rham) para demostrar que su dimensión es unívoca. De hecho se puede demostrar que: una variedad topológica de dimensión n no puede ser homeomorfa a otra de dimensión m a menos que m=n.

Cartas coordenadas

Los homeomorfismos que aparecen en la propiedad VT3 son tan importantes que reciben un nombre distinguido. De hecho, para demostrar que algo es una variedad topológica el mayor trabajo consiste en construir estos homeomorfismos. ¿Y cómo los vamos a llamar? Pues aquí tenéis la respuesta:

Definición. Carta coordenada

Sea M una variedad topológica de dimensión n. Una carta coordenada (o simplemente una carta) en M es un par (U,\phi), donde U es un abierto de M y

    \[\phi: U \rightarrow \phi(U)=\tilde{U}\]

es un homeomorfismo de U al abierto \tilde{U} de \mathbf{R}^n. Observemos que la definición de variedad topológica nos garantiza que, para cada p \in M, siempre podemos encontrar una carta (U,\phi) tal que p esté en su dominio. Si \phi(p)=0 diremos que la carta está centrada en p. Observemos que esto es siempre posible simplemente restando el vector constante \phi(p).

Dada una carta (U,\phi), diremos que U es el entorno (o dominio) coordenado de cada uno de sus puntos. La aplicación \phi puede expresarse en componentes como

    \[ \phi(p)=(x^1(p), \ldots, x^n(p)) \]

y estas componentes se suelen llamar coordenadas locales en U donde x^j:U\rightarrow \mathbf{R} es la j-ésima componente de la carta \phi.

A veces escribiremos cosas como «(U,\phi) es una carta conteniendo a p» para indicar que (U,\phi) es una carta en cuyo dominio p está contenido. Si queremos poner el énfasis en las funciones coordenadas (x^1, \ldots, x^n) en lugar de la aplicación \phi, entonces escribiremos la carta como

    \[\left(U,(x^1, \ldots, x^n)\right)\]

o, simplemente, así:

    \[\left(U,(x^{i})\right).\]

Es importante remarcar aquí, aunque volveremos al tema más adelante y será una cuestión recurrente, que haremos un abuso de notación con las componentes de la carta. Así, la expresión x^j puede indicar dos cosas bien distintas:

Primer significado: la coordenada j-ésima del espacio \mathbf{R}^n cuyas coordenadas canónicas son (x^1,\ldots,x^n), y

Segundo significado: la función coordenada j-ésima de la aplicación \phi dada por x^j:U\rightarrow \mathbf{R}.

Ejemplos de variedades topológicas

Antes de comenzar con los ejemplos propiamente dichos, veamos un par de casos en los que no tenemos una variedad topológica. Así, si consideramos el conjunto

    \[ \{(x,y) \in \mathbf{R}^2 : xy=0 \} \]

con la topología inducida del plano, se puede ver que el origen no admite un entorno que sea homeomorfo a un abierto de la recta real \mathbf{R}.

El detalle de considerar la topología inducida es importante. ¿Se te ocurre una topología distinta para este conjunto de modo que sí sea variedad?

La unión de los ejes coordenados en el plano y el cono 2-dimensional son ejemplos de no variedades.

Análogamente, si tomamos el cono 2-dimensional dado por

    \[ \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 : x^2+y^2=z^2 \} \]

se tiene el mismo problema para el origen donde, de nuevo, consideramos la topología inducida por \mathbf{R}^3. Veamos, ahora sí, algunos ejemplos para practicar las definiciones y que nos resulten más familiares.

Grafos de funciones continuas

Sea U \subset \mathbf{R}^n un abierto y sea f: U \rightarrow \mathbf{R}^k una función continua. Se define el grafo de f como

    \[\Gamma(f)=\{ (x,f(x)) \in \mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^k : x \in U \},\]

donde consideramos la topología de subespacio. Es claro que \Gamma(f) satisface (VT1) y (VT2) pues ambas propiedades son hereditarias. V.a.v.q. también se cumple (VT3): para ello tomamos

    \[\pi_1:\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^k \rightarrow \mathbf{R}^n\]

la proyección en el primer factor y definimos \phi : \Gamma(f) \rightarrow U como la restricción de \pi_1 al subconjunto \Gamma(f) de suerte que

    \[\phi(x,f(x))=x, \quad (x,f(x)) \in \Gamma(f).\]

Como \phi es la restricción de una aplicación continua (de la propia proyección, evidentemente) entonces es continua. Más aún, tiene inversa continua dada por

    \[\phi^{-1}(x)=(x,f(x)).\]

Un grafo es una variedad n-dimensional que además se cubre con una única carta.

De esta forma, el conjunto \Gamma(f) es una variedad topológica de dimensión n. De hecho, \Gamma(f) es homeomorfo al propio U y tenemos así que (\Gamma(f),\phi) es una carta o sistema de coordenadas global. Más tarde veremos que este tipo de situaciones son una rareza en el sentido de que, al menos, son necesarias dos cartas para cubrir una variedad.

Esferas

Para cada entero n\geq 0 se define la n-esfera \mathbf{S}^n como el subconjunto

    \[\mathbf{S}^n = \{ (u^1, \ldots, u^{n+1}) \in \mathbf{R}^{n+1} : |u|=1 \}\]

donde |\cdot| denota la norma euclidiana habitual dada por

    \[|u|=\sqrt{(u^1)^2+ \cdots + (u^{n+1})^2}.\]

Siendo \mathbf{S}^n un subespacio de \mathbf{R}^{n+1} es claro que se cumplen (VT1) y (VT2). Vamos a por (VT3). Para ello, consideramos i=1,\ldots,n+1 y definimos

    \[U_{i}^{+}=\{ (u^1, \ldots, u^{n+1}) \in \mathbf{S}^{n} :u^{i}>0 \}.\]

(Análogamente, U_{i}^{-} es el conjunto en el que u^{i}<0.) Definimos la aplicación

    \[ \phi_{i}^{+}:U_{i}^{+} \rightarrow \mathbf{B}^{n} \]

dada por

    \[ \phi_{i}^{+}(u)=\left(u^1,\ldots,\widehat{u^{i}},\ldots,u^{n+1} \right) \]

donde \mathbf{B}^{n} es la bola (abierta) unidad de \mathbf{R}^{n} y el sombrero indica que la i-ésima componente es omitida. Observemos que \phi_{i}^{+} es una aplicación continua ya que se trata de la restricción de una proyección a un abierto de \mathbf{S}^n. Más aún: tiene una inversa continua y la vamos a encontrar ahora mismo. Para ello tomamos la función continua

    \[ f: \mathbf{B}^n \rightarrow \mathbf{R} \]

dada por

    \[ f(x)=\sqrt{1-|x|^2} \]

donde x=(x^1,\ldots,x^n) es un punto arbitrario y |\cdot| su norma euclidiana n-dimensional. La inversa de \phi_{i}^{+} viene dada por

    \begin{eqnarray*} & \left(\phi_{i}^{+}\right)^{-1}(x^1,\ldots,x^n) = & \\ & = \left(x^1,\ldots,x^{i-1},f(x),x^{i},\ldots,x^n \right).& \end{eqnarray*}

Ejercicio: Comprobar que es realmente la inversa y demuestra que es una aplicación continua.

Hemos demostrado que todos los puntos pertenecientes al hemisferio U_{i}^{+} admiten un entorno abierto (el propio hemisferio) que es homeomorfo a un abierto de \mathbf{R}^{n} (de hecho, una bola abierta unidad). Como podemos cubrir la esfera mediante todos los hemisferios positivos y negativos se tiene que es una variedad topológica n-dimensional.

Ejercicio: ¿Cuántas cartas se necesitan para cubrir la esfera de dimensión n?

Ejercicio: Construye la carta \phi_{i}^{-} de forma explícita.

Espacios proyectivos

Este es el primer ejemplo que vamos a ver de variedad topológica no-trivial en el sentido de que su estructura local euclídea no es tan evidente como en los anteriores. Lo vamos a escribir a mano. En primer lugar vamos a tratar el caso 1-dimensional para no complicarnos mucho la vida.

Y ahora nos pasamos al caso general n-dimensional.

Ejercicio: Utiliza esta última identificación del proyectivo con el cociente de la esfera bajo puntos antípodas para concluir que el espacio proyectivo n-dimensional es compacto.

Variedades producto

Sean M_1,\ldots,M_k variedades topológicas con dimensiones n_1,\ldots,n_k respectivamente. Vamos a demostrar que el espacio producto

    \[M_1\times \cdots \times M_k\]

es una variedad topológica con dimensión n_1+\cdots + n_k. Usando argumentos de topología se puede garantizar que (VT1) y (VT2) se satisfacen (¿qué argumentos?) así que únicamente debemos probar que es localmente euclidiana.

Tomamos pues (p_1,\ldots,p_k) un punto arbitrario y elegimos una carta (U_i,\phi_i) de M_i tal que p_i \in M_i para i=1,\ldots, k. La aplicación producto

    \[\phi_1 \times \cdots\times \phi_k : U_1\times \cdots \times U_k \rightarrow \mathbf{R}^{n}\]

siendo n=n_1+\cdots + n_k es un homeomorfismo sobre su imagen ya que el producto de homeomorfismos es un homeomorfismo si consideramos como topología la producto.

Toros

Para cada entero n positivo, se define el n-toro como el espacio producto

    \[\mathbf{T}=\mathbf{S}^1\times\cdots\times\mathbf{S}^1\]

Por la discusión anterior, sabemos que se trata de una n-variedad topológica. En el caso n=2, lo llamaremos simplemente el toro.

Ejercicio: Encuentra una carta para el n-toro.

Ejercicio: Demuestra que este 2-toro es homeomorfo al toro de revolución de la geometría de tercero de superficies.

Propiedades topológicas de las variedades

Como espacios topológicos, las variedades son muy especiales y comparten muchas propiedades con el espacio \mathbf{R}^n. Vamos a repasar algunas de estas características. Así, si M es una variedad topológica, entonces, respecto a la conexión se tiene que:

1) M es localmente arco-conexa,
2) M es conexa si, y sólo si, es arco-conexa,
3) Las componentes conexas de M coinciden con las componentes arco-conexas, y
4) M tiene, como mucho, una cantidad numerable de componentes conexas, cada una de las cuales es un abierto de M y una variedad topológica conexa.

En cuanto a compacidad únicamente podemos afirmar que las variedades son localmente compactas (repasar la definición de topología de segundo). Hay otra propiedad más sofisticada que cumplen siempre las variedades: son paracompactas. No obstante, no vamos a profundizar más en este tema.

La entrada Variedad topológica aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/variedad-topologica/feed/ 0 Introducción a Geometría de Riemann https://gravitacion.es/introduccion-a-geometria-de-riemann/ https://gravitacion.es/introduccion-a-geometria-de-riemann/#respond Mon, 21 Sep 2020 09:56:59 +0000 https://gravitacion.es/?p=1323 Presentación del curso: ¿Quién fue Riemann? Geometría en dimensión arbitraria. Geometría sin hacer referencia al espacio ambiente.

La entrada Introducción a Geometría de Riemann aparece primero en Gravitación.

]]>

Ver la guía docente del curso 2026/2027

Comenzamos este curso sobre Geometría de Riemann. Esencialmente, vamos a ampliar y generalizar la geometría de curvas y superficies que conocéis de otros cursos en dos sentidos:

  1. dimensión arbitraria y
  2. ausencia de espacio ambiente.

El punto 1 debe estar claro para unos matemáticos o físicos como vosotros. Lo realizado para superficies (es decir, para n=2) nos gustaría abordarlo —ahora en general— para un número natural arbitrario n.

En relación al punto 2, estamos ante una cuestión más sutil. ¿Qué significa espacio ambiente? ¿Qué implica su ausencia? Bien, recordemos que, en tercero, las superficies viven en el espacio euclídeo. Esto nos proporciona muchísimas ventajas para trabajar con ellas, a saber:

  1. posibilidad de construir rápidamente el plano tangente a la superficie en un punto,
  2. usando el producto escalar euclídeo, capacidad para medir longitudes de vectores y, por ende, de curvas y áreas y, finalmente,
  3. construcción de un normal unitario a la superficie, a partir del cual surgen todo tipo de curvaturas siendo la más relevante la curvatura de Gauss.
Bernhard Riemann en 1863
Bernhard Riemann en 1863

Muy pronto comprobaréis que, incluso abordar la construcción de un plano tangente en un espacio n-dimensional abstracto, supone un desafío serio, un trabajo hercúleo mucho más por la ausencia de ambiente que por considerar arbitraria la dimensión. Para efectuar medidas, esto es, para hacer geometría, necesitaremos fabricar una alternativa que englobe esa primera forma fundamental de tercero y que nos permitía calcular longitudes, ángulos y áreas. Dicha alternativa será un tensor métrico, algo que definiremos con mucha tranquilidad pues es el concepto central de la asignatura.

Finalmente, para definir la curvatura deberemos rebuscar en nuestros apuntes de tercero y recordar el famoso theorema egregium de Gauss en el cual se afirma que su curvatura es un concepto intrínseco. Utilizaremos este resultado y nos inspiraremos en él para definir la curvatura en un espacio abstracto de dimensión arbitraria. Sin hacer de spoiler, os digo que será especialmente relevante aprender a derivar campos de vectores, algo trivial en el espacio euclídeo, pero no así en un mundo ausente de referencias al ambiente.

Vamos a ello.

La entrada Introducción a Geometría de Riemann aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/introduccion-a-geometria-de-riemann/feed/ 0 Órbitas luminosas en la geometria de Schwarzschild https://gravitacion.es/orbitas-luminosas-en-la-geometria-de-schwarzschild/ https://gravitacion.es/orbitas-luminosas-en-la-geometria-de-schwarzschild/#respond Mon, 20 May 2019 14:55:40 +0000 https://gravitacion.es/?p=975 Si bien la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio le valió a Einstein para confirmar que su teoría era correcta, la comunidad científica reaccionó con cierto escepticismo a las cuentas ya que, como habéis podido comprobar vosotros mismos, se requieren muchas aproximaciones para llegar a buen puerto. Y claro: cuando se sabe a…

La entrada Órbitas luminosas en la geometria de Schwarzschild aparece primero en Gravitación.

]]> Si bien la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio le valió a Einstein para confirmar que su teoría era correcta, la comunidad científica reaccionó con cierto escepticismo a las cuentas ya que, como habéis podido comprobar vosotros mismos, se requieren muchas aproximaciones para llegar a buen puerto. Y claro: cuando se sabe a dónde debemos llegar, es fácil retorcer los datos.

No obstante la Relatividad General aplica también a las trayectorias luminosas y la gravedad afecta a la luz de modo que había una nueva posibilidad para encumbrar la teoría. Así, las cuentas que vamos a ver a continuación, predicen cuánto se debe curvar un rayo de luz que pasa cerca de la corona solar. La predicción de Einstein fue verificada algunos años más tarde por el astrónomo inglés Eddington. A partir de entonces, la teoría de Einstein ganaría el respaldo total de la comunidad científica.

La entrada Órbitas luminosas en la geometria de Schwarzschild aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/orbitas-luminosas-en-la-geometria-de-schwarzschild/feed/ 0 Órbitas materiales en la geometría de Schwarzschild https://gravitacion.es/orbitas-materiales-en-la-geometria-de-schwarzschild/ https://gravitacion.es/orbitas-materiales-en-la-geometria-de-schwarzschild/#respond Mon, 20 May 2019 14:54:50 +0000 https://gravitacion.es/?p=973 La primer prueba superada por la teoría de Einstein fue la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio. Se trataba de un efecto observado en la órbita del planeta más cercano al sol en nuestro sistema: cada 100 años terrestres se producía un avance en el perihelio de 5557 segundos de arco y la…

La entrada Órbitas materiales en la geometría de Schwarzschild aparece primero en Gravitación.

]]> La primer prueba superada por la teoría de Einstein fue la explicación de la precesión del perihelio de Mercurio. Se trataba de un efecto observado en la órbita del planeta más cercano al sol en nuestro sistema: cada 100 años terrestres se producía un avance en el perihelio de 5557 segundos de arco y la teoría de Newton dejaba sin explicar 43 segundos de arco de ese avance observado. Una minucia que, sin embargo, intrigaba a los astrónomos. Finalmente, las órbitas de la teoría de Einstein fueron capaces de justificarlo. Aquí tenéis la cuenta.

La entrada Órbitas materiales en la geometría de Schwarzschild aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/orbitas-materiales-en-la-geometria-de-schwarzschild/feed/ 0 Un argumento de simetría https://gravitacion.es/un-argumento-de-simetria/ https://gravitacion.es/un-argumento-de-simetria/#respond Mon, 20 May 2019 14:53:23 +0000 https://gravitacion.es/?p=971 En la lección sobre las órbitas en la teoría de Newton comprobamos que, al ser la gravedad una fuerza central, las órbitas eran planas. Esta reducción de las dimensiones del problema sucede, igualmente, en el caso relativista. Si bien este hecho puede demostrarse por diferentes caminos, nosotros hemos elegido aquí un elegante argumento de simetría…

La entrada Un argumento de simetría aparece primero en Gravitación.

]]> En la lección sobre las órbitas en la teoría de Newton comprobamos que, al ser la gravedad una fuerza central, las órbitas eran planas. Esta reducción de las dimensiones del problema sucede, igualmente, en el caso relativista. Si bien este hecho puede demostrarse por diferentes caminos, nosotros hemos elegido aquí un elegante argumento de simetría típico de la Geometría Diferencial.

La entrada Un argumento de simetría aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/un-argumento-de-simetria/feed/ 0 Órbitas en la teoría de Newton https://gravitacion.es/orbitas-en-la-teoria-de-newton/ https://gravitacion.es/orbitas-en-la-teoria-de-newton/#comments Tue, 30 Apr 2019 09:31:03 +0000 https://gravitacion.es/?p=811 Una vez establecida la métrica de Schwarzschild vamos a encontrar las órbitas de los planetas (órbitas materiales) así como las trayectorias (órbitas) luminosas. Para ello debemos antes entender cómo funcionan las órbitas en la teoría clásica de la gravedad de Newton. Así podremos comparar las predicciones de una y otra teoría.

La entrada Órbitas en la teoría de Newton aparece primero en Gravitación.

]]> Una vez establecida la métrica de Schwarzschild vamos a encontrar las órbitas de los planetas (órbitas materiales) así como las trayectorias (órbitas) luminosas. Para ello debemos antes entender cómo funcionan las órbitas en la teoría clásica de la gravedad de Newton. Así podremos comparar las predicciones de una y otra teoría.

La entrada Órbitas en la teoría de Newton aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/orbitas-en-la-teoria-de-newton/feed/ 1 La solución de Schwarzschild. Segunda parte https://gravitacion.es/la-solucion-de-schwarzschild-segunda-parte/ https://gravitacion.es/la-solucion-de-schwarzschild-segunda-parte/#respond Tue, 30 Apr 2019 09:25:10 +0000 https://gravitacion.es/?p=808 En la lección anterior imponíamos que la GR debe coincidir con la gravedad clásica cuando nos encontramos en el ambiente del sistema solar (campo débil) a velocidades normales (bajas). Utilizando estas hipótesis encontramos una expresión explícita para el coeficiente de la métrica siendo una métrica que difiere muy poco de la métrica de Minkowski de…

La entrada La solución de Schwarzschild. Segunda parte aparece primero en Gravitación.

]]> En la lección anterior imponíamos que la GR debe coincidir con la gravedad clásica cuando nos encontramos en el ambiente del sistema solar (campo débil) a velocidades normales (bajas). Utilizando estas hipótesis encontramos una expresión explícita para el coeficiente g_{00} de la métrica siendo g una métrica que difiere muy poco de la métrica de Minkowski de la SR.

Como la solución de Schwarzschild aplica al caso del sistema solar entonces podemos encontrar el valor de la constante a que es lo que hacemos a continuación.

Addenda: Determinación de la constante utilizando el efecto Doppler gravitatorio.

Incluimos aquí una determinación alternativa de la constante que aparece en la solución de Schwarzschild utilizando el efecto Doppler gravitatorio.

La entrada La solución de Schwarzschild. Segunda parte aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/la-solucion-de-schwarzschild-segunda-parte/feed/ 0