El peine borrado | Gravitación

Es un ejercicio bastante sencillo demostrar que un espacio conexo por arcos es también conexo. De inmediato, surge una nueva cuestión: ¿es todo espacio conexo también conexo por arcos?

La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, negativa.Los matemáticos tendemos mucho a economizar notación, definiciones y esfuerzo. ¿Cómo íbamos a llamar de dos formas distintas a un mismo concepto? Para justificar la respuesta, el modo más rápido y directo consiste en encontrar un ejemplo que ilustre nuestra afirmación. Y a eso nos vamos a dedicar en estas líneas. (En realidad, se trata de un contraejemplo, pues estamos respondiendo en negativo.)La prueba de este ejemplo está extraída de la magnífica web del profesor Keith Conrad.

Aunque a lo largo de estas notas vamos a trabajar con el espacio $\mathbf{R}^2$ equipado con la topología usual, vamos a comenzar estudiando un conjunto de la recta real $\mathbf{R}$ (también con la topología usual) dado por

$K= \{1/n : n \in \mathbf{N} \}.$

Es claro que la adherencia de este conjunto es

$\overline{K}= \{1/n : n \in \mathbf{N} \} \cup \{ 0\}.$

Vamos a demostrar ahora el siguiente resultado.

Proposición

El conjunto $\overline{K}$ es totalmente disconexo, es decir, sus únicos subconjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. (Otro modo de enunciarlo sería: sus componentes conexas son conjuntos unipuntuales.)

Demostración. Sea $C$ un subconjunto conexo del espacio $\overline{K}$ . Supongamos que $C$ contiene un elemento de la forma $1/n$ para algún $n \in \mathbf{N}.$ Vamos a demostrar que $C=\{1/n\}.$ ¿Cómo? Supongamos que $C$ contiene algún otro elemento, además del $1/n$ . Podemos considerar entonces la separación de $C$ dada por

$C= (C \setminus \{1/n\} ) \cup \{1/n\}.$

Es claro que la expresión anterior constituye una separación de $C$ pues el conjunto unipuntual $\{1/n\}$ es abierto y cerrado en $C$ y se trata de conjuntos no vacíos. Pero entonces $C$ no puede ser conexo. Conclusión: $C$ es un conjunto unipuntual dado por $C=\{1/n\}.$

La única posibilidad que nos queda es que $C$ no contenga elementos de la forma $1/n$ , por tanto $C=\{0\}$ y esto finaliza la prueba. $\Box$

A continuación, definimos el siguiente subconjunto del plano.

$P_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(K \times [0,1] \right).$

Observemos que el conjunto $P_{\infty}$ es un peine con infinitas púas que se van acumulando en el eje de ordenadas. Es claro que $P_{\infty}$ es un espacio conexo por arcos pues cualquier par de puntos puede unirse mediante segmentos de recta. Por tanto, también es un espacio conexo.

El peine borrado y algunos de sus elementos más importantes. (La escala en el eje de ordenadas está disminuida para una mejor visualización.)

Si calculamos la adherencia de $P_{\infty}$ obtenemos un peine con una púa adicional, la que parte del origen hasta el punto $p:=(0,1).$ Así pues se puede escribir

$\overline{P}_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(\overline{K} \times [0,1] \right).$

La prueba de que este conjunto es la adherencia se efectúa simplemente considerando sucesiones de la forma $x_n=(1/n,y_0)$ con $y_0 \in [0,1]$ . La sucesión $(x_n)$ claramente converge al punto $(0,y_0)$ y se prueba la anterior igualdad. A continuación, llamaremos $X$ al siguiente espacio:

$X= \overline{P}_{\infty} \setminus \left(\{0\} \times (0,1) \right).$

El espacio $X$ con la topología inducida del plano se llama el peine borrado.En los manuales y la bibliografía suele encontrarse como deleted comb. Intuitivamente, es un peine de infinitas púas al que se le ha arrancado la última (la del eje de ordenadas) pero manteniendo el punto $p=(0,1).$

Recordemos ahora la siguiente propiedad: si $S$ es un conjunto tal que

$Y \subset S \subset \overline{Y}$

donde $Y$ es conexo, entonces $S$ también es conexo. En particular, $\overline{Y}$ es conexo. (La prueba de este hecho no es complicada y es un ejercicio.) Como se tiene que

$P_{\infty} \subset X \subset \overline{P}_{\infty},$

entonces el peine borrado $X$ es un conjunto conexo del plano con la topología usual. Vamos a ver que $X$ no es conexo por arcos. En concreto, vamos a demostrar que el punto $p$ no se puede unir con un arco a ningún otro punto de $X$ . Para ello, sea

$\sigma: [0,1] \rightarrow X$

un arco cumpliendo $\sigma(0)=p.$ Demostraremos ahora que

$\sigma ([0,1])=\{ p\}$

y tendremos así que $\sigma$ es un arco constante, luego $p$ no se puede unir con cualquier otro punto de $X$ . Definimos

$A= \{ t\in [0,1]: \sigma(t)=p \}.$

Entonces tenemos:

$A \neq \varnothing$ pues $0 \in A,$
$A$ es cerrado ya que $\{p\}$ es cerrado y $A=\sigma^{-1}(\{p\}),$ y
$A$ es abierto, prueba que nos va a llevar un poco más de trabajo: sea $t_0 \in A$ . Como $\sigma$ es continua, para $\varepsilon=1/2$ existe un $\delta>0$ tal que

$\begin{eqnarray*} |t-t_0| < \delta \Rightarrow |\sigma(t)-p|<1/2. \end{eqnarray*}$

Así, si $t$ cumple $|t-t_0| < \delta,$ entonces $\sigma(t)$ no es un punto del eje $x$ y debe estar contenido en alguna de las púas verticales del peine. Consideramos ahora

$\begin{eqnarray*} \pi : & \mathbf{R}^2 & \rightarrow \mathbf{R} \\ & (x,y) & \rightarrow \pi(x,y):=x \end{eqnarray*}$

la proyección sobre la primera coordenada. Claramente $\pi$ es una aplicación continua. Tomamos

$I= (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \cap [0,1]$

que es abierto en $[0,1]$ y conexo en la recta real (es la intersección de dos intervalos: un nuevo intervalo) y definimos

$\begin{eqnarray*} f : & I & \rightarrow \mathbf{R} \\ & t & \rightarrow f(t):= \pi (\sigma (t)). \end{eqnarray*}$

Como $I$ es conexo y $f$ es continua, entonces $f(I)$ es un conexo. Ahora bien, $f(I) \subset \overline{K}$ que es totalmente disconexo, por lo que $f(I)$ cae en uno de los conjuntos unipuntuales que conforman el conjunto $\overline{K}$ . Como

$f(t_0)=\pi (\sigma (t_0))=\pi (0,1)=0$

entonces $f(t)=0$ para todo $t \in I$ y eso implica que $\sigma (t) \equiv p$ para todo $t\in I$ por lo que $I \subset A$ y $A$ es abierto.

Al ser $A$ abierto, cerrado y no vacío en $[0,1]$ se cumple finalmente que $A=[0,1]$ y que $\sigma$ es el arco constante con lo que se acaba la prueba.

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