Es un ejercicio bastante sencillo demostrar que un espacio conexo por arcos es también conexo. De inmediato, surge una nueva cuestión: ¿es todo espacio conexo también conexo por arcos?
La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, negativa.Los matemáticos tendemos mucho a economizar notación, definiciones y esfuerzo. ¿Cómo íbamos a llamar de dos formas distintas a un mismo concepto? Para justificar la respuesta, el modo más rápido y directo consiste en encontrar un ejemplo que ilustre nuestra afirmación. Y a eso nos vamos a dedicar en estas líneas. (En realidad, se trata de un contraejemplo, pues estamos respondiendo en negativo.)La prueba de este ejemplo está extraída de la magnífica web del profesor Keith Conrad.
Aunque a lo largo de estas notas vamos a trabajar con el espacio equipado con la topología usual, vamos a comenzar estudiando un conjunto de la recta real
(también con la topología usual) dado por
Es claro que la adherencia de este conjunto es
Vamos a demostrar ahora el siguiente resultado.
A continuación, definimos el siguiente subconjunto del plano.
Observemos que el conjunto es un peine con infinitas púas que se van acumulando en el eje de ordenadas. Es claro que
es un espacio conexo por arcos pues cualquier par de puntos puede unirse mediante segmentos de recta. Por tanto, también es un espacio conexo.

Si calculamos la adherencia de obtenemos un peine con una púa adicional, la que parte del origen hasta el punto
Así pues se puede escribir
La prueba de que este conjunto es la adherencia se efectúa simplemente considerando sucesiones de la forma con
. La sucesión
claramente converge al punto
y se prueba la anterior igualdad. A continuación, llamaremos
al siguiente espacio:
El espacio con la topología inducida del plano se llama el peine borrado.En los manuales y la bibliografía suele encontrarse como deleted comb. Intuitivamente, es un peine de infinitas púas al que se le ha arrancado la última (la del eje de ordenadas) pero manteniendo el punto
Recordemos ahora la siguiente propiedad: si es un conjunto tal que
donde es conexo, entonces
también es conexo. En particular,
es conexo. (La prueba de este hecho no es complicada y es un ejercicio.) Como se tiene que
entonces el peine borrado es un conjunto conexo del plano con la topología usual. Vamos a ver que
no es conexo por arcos. En concreto, vamos a demostrar que el punto
no se puede unir con un arco a ningún otro punto de
. Para ello, sea
un arco cumpliendo Demostraremos ahora que
y tendremos así que es un arco constante, luego
no se puede unir con cualquier otro punto de
. Definimos
Entonces tenemos:
-
pues
-
es cerrado ya que
es cerrado y
y
-
es abierto, prueba que nos va a llevar un poco más de trabajo: sea
. Como
es continua, para
existe un
tal que
Así, si
cumple
entonces
no es un punto del eje
y debe estar contenido en alguna de las púas verticales del peine. Consideramos ahora
la proyección sobre la primera coordenada. Claramente
es una aplicación continua. Tomamos
que es abierto en
y conexo en la recta real (es la intersección de dos intervalos: un nuevo intervalo) y definimos
Como
es conexo y
es continua, entonces
es un conexo. Ahora bien,
que es totalmente disconexo, por lo que
cae en uno de los conjuntos unipuntuales que conforman el conjunto
. Como
entonces
para todo
y eso implica que
para todo
por lo que
y
es abierto.
Al ser abierto, cerrado y no vacío en
se cumple finalmente que
y que
es el arco constante con lo que se acaba la prueba.