Lecciones Archives | Gravitación https://gravitacion.es/category/lecciones/ Geometría § Relatividad § Universo Tue, 23 Apr 2024 09:27:46 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.9.5 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png Lecciones Archives | Gravitación https://gravitacion.es/category/lecciones/ 32 32 El peine borrado https://gravitacion.es/el-peine-borrado/ https://gravitacion.es/el-peine-borrado/#respond Tue, 03 May 2022 07:24:04 +0000 https://gravitacion.es/?p=2299 Presentamos aquí un ejemplo de un espacio topológico que es conexo pero no conexo por arcos.

La entrada El peine borrado aparece primero en Gravitación.

]]> Es un ejercicio bastante sencillo demostrar que un espacio conexo por arcos es también conexo. De inmediato, surge una nueva cuestión: ¿es todo espacio conexo también conexo por arcos?

La respuesta a esta pregunta es, evidentemente, negativa.Los matemáticos tendemos mucho a economizar notación, definiciones y esfuerzo. ¿Cómo íbamos a llamar de dos formas distintas a un mismo concepto? Para justificar la respuesta, el modo más rápido y directo consiste en encontrar un ejemplo que ilustre nuestra afirmación. Y a eso nos vamos a dedicar en estas líneas. (En realidad, se trata de un contraejemplo, pues estamos respondiendo en negativo.)La prueba de este ejemplo está extraída de la magnífica web del profesor Keith Conrad.

Aunque a lo largo de estas notas vamos a trabajar con el espacio \mathbf{R}^2 equipado con la topología usual, vamos a comenzar estudiando un conjunto de la recta real \mathbf{R} (también con la topología usual) dado por

    \[ K= \{1/n : n \in \mathbf{N} \}. \]

Es claro que la adherencia de este conjunto es

    \[ \overline{K}= \{1/n : n \in \mathbf{N} \} \cup \{ 0\}. \]

Vamos a demostrar ahora el siguiente resultado.

Proposición

El conjunto \overline{K} es totalmente disconexo, es decir, sus únicos subconjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. (Otro modo de enunciarlo sería: sus componentes conexas son conjuntos unipuntuales.)

Demostración. Sea C un subconjunto conexo del espacio \overline{K}. Supongamos que C contiene un elemento de la forma 1/n para algún n \in \mathbf{N}. Vamos a demostrar que C=\{1/n\}. ¿Cómo? Supongamos que C contiene algún otro elemento, además del 1/n. Podemos considerar entonces la separación de C dada por

    \[ C= (C \setminus \{1/n\} ) \cup \{1/n\}. \]

Es claro que la expresión anterior constituye una separación de C pues el conjunto unipuntual \{1/n\} es abierto y cerrado en C y se trata de conjuntos no vacíos. Pero entonces C no puede ser conexo. Conclusión: C es un conjunto unipuntual dado por C=\{1/n\}.

La única posibilidad que nos queda es que C no contenga elementos de la forma 1/n, por tanto C=\{0\} y esto finaliza la prueba. \Box

A continuación, definimos el siguiente subconjunto del plano.

    \[ P_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(K \times [0,1] \right). \]

Observemos que el conjunto P_{\infty} es un peine con infinitas púas que se van acumulando en el eje de ordenadas. Es claro que P_{\infty} es un espacio conexo por arcos pues cualquier par de puntos puede unirse mediante segmentos de recta. Por tanto, también es un espacio conexo.

El peine borrado y algunos de sus elementos más importantes. (La escala en el eje de ordenadas está disminuida para una mejor visualización.)

Si calculamos la adherencia de P_{\infty} obtenemos un peine con una púa adicional, la que parte del origen hasta el punto p:=(0,1). Así pues se puede escribir

    \[ \overline{P}_{\infty}=\left([0,1]\times \{ 0 \} \right) \cup \left(\overline{K} \times [0,1] \right). \]

La prueba de que este conjunto es la adherencia se efectúa simplemente considerando sucesiones de la forma x_n=(1/n,y_0) con y_0 \in [0,1]. La sucesión (x_n) claramente converge al punto (0,y_0) y se prueba la anterior igualdad. A continuación, llamaremos X al siguiente espacio:

    \[ X= \overline{P}_{\infty} \setminus \left(\{0\} \times (0,1) \right). \]

El espacio X con la topología inducida del plano se llama el peine borrado.En los manuales y la bibliografía suele encontrarse como deleted comb. Intuitivamente, es un peine de infinitas púas al que se le ha arrancado la última (la del eje de ordenadas) pero manteniendo el punto p=(0,1).

Recordemos ahora la siguiente propiedad: si S es un conjunto tal que

    \[ Y \subset S \subset \overline{Y} \]

donde Y es conexo, entonces S también es conexo. En particular, \overline{Y} es conexo. (La prueba de este hecho no es complicada y es un ejercicio.) Como se tiene que

    \[ P_{\infty} \subset X \subset \overline{P}_{\infty}, \]

entonces el peine borrado X es un conjunto conexo del plano con la topología usual. Vamos a ver que X no es conexo por arcos. En concreto, vamos a demostrar que el punto p no se puede unir con un arco a ningún otro punto de X. Para ello, sea

    \[ \sigma: [0,1] \rightarrow X \]

un arco cumpliendo \sigma(0)=p. Demostraremos ahora que

    \[ \sigma ([0,1])=\{ p\} \]

y tendremos así que \sigma es un arco constante, luego p no se puede unir con cualquier otro punto de X. Definimos

    \[ A= \{ t\in [0,1]: \sigma(t)=p \}. \]

Entonces tenemos:

  1. A \neq \varnothing pues 0 \in A,
  2. A es cerrado ya que \{p\} es cerrado y A=\sigma^{-1}(\{p\}), y
  3. A es abierto, prueba que nos va a llevar un poco más de trabajo: sea t_0 \in A. Como \sigma es continua, para \varepsilon=1/2 existe un \delta>0 tal que

        \begin{eqnarray*} |t-t_0| < \delta \Rightarrow |\sigma(t)-p|<1/2. \end{eqnarray*}

    Así, si t cumple |t-t_0| < \delta, entonces \sigma(t) no es un punto del eje x y debe estar contenido en alguna de las púas verticales del peine. Consideramos ahora

        \begin{eqnarray*} \pi : & \mathbf{R}^2 & \rightarrow \mathbf{R} \\ & (x,y) & \rightarrow \pi(x,y):=x \end{eqnarray*}

    la proyección sobre la primera coordenada. Claramente \pi es una aplicación continua. Tomamos

        \[ I= (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \cap [0,1] \]

    que es abierto en [0,1] y conexo en la recta real (es la intersección de dos intervalos: un nuevo intervalo) y definimos

        \begin{eqnarray*} f : & I & \rightarrow \mathbf{R} \\ & t & \rightarrow f(t):= \pi (\sigma (t)). \end{eqnarray*}

    Como I es conexo y f es continua, entonces f(I) es un conexo. Ahora bien, f(I) \subset \overline{K} que es totalmente disconexo, por lo que f(I) cae en uno de los conjuntos unipuntuales que conforman el conjunto \overline{K}. Como

        \[ f(t_0)=\pi (\sigma (t_0))=\pi (0,1)=0 \]

    entonces f(t)=0 para todo t \in I y eso implica que \sigma (t) \equiv p para todo t\in I por lo que I \subset A y A es abierto.

Al ser A abierto, cerrado y no vacío en [0,1] se cumple finalmente que A=[0,1] y que \sigma es el arco constante con lo que se acaba la prueba.

La entrada El peine borrado aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/el-peine-borrado/feed/ 0 La ecuación de Jacobi https://gravitacion.es/la-ecuacion-de-jacobi/ https://gravitacion.es/la-ecuacion-de-jacobi/#respond Fri, 21 May 2021 09:33:18 +0000 https://gravitacion.es/?p=1665 Familia de geodésicas. Ecuación de Jacobi. Interpretación geométrica. Ejemplos. Posición relativa de una geodésica respecto de otra. El campo variacional como una medida de la posición. Justificación.

La entrada La ecuación de Jacobi aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Elaboración propia y algunas partes de:

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.

La entrada La ecuación de Jacobi aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/la-ecuacion-de-jacobi/feed/ 0 Curvatura de Riemann https://gravitacion.es/curvatura-de-riemann/ https://gravitacion.es/curvatura-de-riemann/#comments Fri, 23 Apr 2021 09:24:22 +0000 https://gravitacion.es/?p=1601 Preliminares: ¿cuál es el camino? El operador curvatura. El tensor curvatura. Identidad de Bianchi. Versión covariante del tensor de Riemann. Simetrías del tensor de Riemann. El tensor de Riemann mide la conmutatividad de la derivada covariante. Curvatura seccional. Curvatura seccional y curvatura de Gauss.

La entrada Curvatura de Riemann aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 5.

La entrada Curvatura de Riemann aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/curvatura-de-riemann/feed/ 1 La conexión de Levi-Civita https://gravitacion.es/la-conexion-de-levi-civita/ https://gravitacion.es/la-conexion-de-levi-civita/#respond Mon, 15 Mar 2021 11:07:31 +0000 https://gravitacion.es/?p=1584 Conexión compatible con la métrica. Conexión simétrica. Tensor torsión. Teorema fundamental de la geometría de Riemann. Fórmula de Koszul. Símbolos de Christoffel. Conexión de Levi-Civita.

La entrada La conexión de Levi-Civita aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

Observación

En otros textos clásicos se demuestra la existencia de la conexión de Levi-Civita partiendo de la fórmula de Koszul. Así se define \nabla_X Y como el único campo que satisface Koszul para cualquier campo Z tangente a M. A continuación, habría que demostrar:

1) que es una conexión afín,
2) que es simétrica, y
3) que es compatible con la métrica.

Esto puede hacerse también sin muchos problemas y es un excelente ejercicio.

La entrada La conexión de Levi-Civita aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/la-conexion-de-levi-civita/feed/ 0 Geodésicas y transporte paralelo https://gravitacion.es/geodesicas-y-transporte-paralelo/ https://gravitacion.es/geodesicas-y-transporte-paralelo/#respond Mon, 08 Mar 2021 09:27:22 +0000 https://gravitacion.es/?p=1576 Geodésicas respecto de una conexión afín. Transporte paralelo. Ejemplos. Conexiones y métricas: ¿hay alguna relación entre ambos conceptos?

La entrada Geodésicas y transporte paralelo aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

La entrada Geodésicas y transporte paralelo aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/geodesicas-y-transporte-paralelo/feed/ 0 Derivada covariante https://gravitacion.es/derivada-covariante-2/ https://gravitacion.es/derivada-covariante-2/#respond Mon, 08 Mar 2021 09:25:16 +0000 https://gravitacion.es/?p=1571 Campos a lo largo de una curva. Ejemplos. Derivada covariante a lo largo de una curva. Existencia y unicidad.

La entrada Derivada covariante aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

La entrada Derivada covariante aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/derivada-covariante-2/feed/ 0 La conexión en coordenadas https://gravitacion.es/la-conexion-en-coordenadas/ https://gravitacion.es/la-conexion-en-coordenadas/#respond Mon, 08 Mar 2021 09:23:05 +0000 https://gravitacion.es/?p=1564 La conexión en coordenadas. Los símbolos de la conexión. Ejemplos. Existencia de conexiones afines.

La entrada La conexión en coordenadas aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

La entrada La conexión en coordenadas aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/la-conexion-en-coordenadas/feed/ 0 Conexiones afines https://gravitacion.es/conexiones-afines/ https://gravitacion.es/conexiones-afines/#respond Mon, 08 Mar 2021 09:20:09 +0000 https://gravitacion.es/?p=1555 Conexión afín en una variedad. Propiedades de la conexión. Ejemplos de conexiones afines. Conexión afín euclídea. Conexión inducida en una superficie regular.

La entrada Conexiones afines aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

La entrada Conexiones afines aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/conexiones-afines/feed/ 0 La conexión euclidea https://gravitacion.es/la-conexion-euclidea/ https://gravitacion.es/la-conexion-euclidea/#respond Tue, 24 Nov 2020 22:24:30 +0000 https://gravitacion.es/?p=1534 El problema de derivar campos de vectores. Conexión afín euclídea. Propiedades. Carácter puntual y local de la conexión afín euclídea.

La entrada La conexión euclidea aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulos 4 y 5.

La entrada La conexión euclidea aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/la-conexion-euclidea/feed/ 0 Los espacios modelo de la geometría riemanniana https://gravitacion.es/los-espacios-modelo-de-la-geometria-riemanniana/ https://gravitacion.es/los-espacios-modelo-de-la-geometria-riemanniana/#respond Tue, 24 Nov 2020 22:22:15 +0000 https://gravitacion.es/?p=1525 Los espacios modelo. El espacio euclídeo n-dimensional. Homogeneidad. Isotropía. La esfera n-dimensional. El espacio hiperbólico n-dimensional y sus diferentes realizaciones.

La entrada Los espacios modelo de la geometría riemanniana aparece primero en Gravitación.

]]> BIBLIO

Introduction to Riemannian Manifolds.
John M. Lee. Springer Science. 2018. Capítulo 3.

La entrada Los espacios modelo de la geometría riemanniana aparece primero en Gravitación.

]]> https://gravitacion.es/los-espacios-modelo-de-la-geometria-riemanniana/feed/ 0