sistemas de referencia Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/sistemas-de-referencia/ Geometría § Relatividad § Universo Tue, 29 Mar 2022 10:24:12 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.8.3 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png sistemas de referencia Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/sistemas-de-referencia/ 32 32 Las transformaciones de Lorentz https://gravitacion.es/las-transformaciones-de-lorentz/ https://gravitacion.es/las-transformaciones-de-lorentz/#respond Sun, 08 Jan 2017 17:14:32 +0000 https://gravitacion.es/?p=333 Partiendo de las transformaciones de Galileo y asumiendo los postulados de la relatividad especial deducimos las transformaciones de Lorentz.

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]]> Hoy vamos a deducir cuáles son las transformaciones de coordenadas que relacionan dos sistemas de referencia inerciales basándonos en los postulados de la relatividad especial. Antes de comenzar con el tema propiamente dicho vamos a definir lo que entendemos por unidades geométricas.

Unidades geométricas

El objetivo de emplear unidades geométricas es doble. De un lado, se trata de que en los diagramas espacio-tiempo las unidades que miden el espacio y el tiempo estén suficientemente compensadas como para que una magnitud tan grande como la velocidad de la luz — cuando se expresa en unidades convencionales — sea mucho más manejable.

De otro, buscamos que en la representación 4-dimensional podamos hacer geometría, hacer medidas de longitudes, áreas y volúmenes. Para ello es imprescindible que en todos los ejes coordenados tengamos las mismas unidades.

En realidad estamos muy acostumbrados a utilizar unidades geométricas. Lo hacemos desde hace ya mucho cuando en astronomía clásica se introdujo el concepto de año-luz: el espacio que recorre la luz en un año. De esta forma, medimos el espacio en años.

Si en lugar de traducir el espacio a unidades de tiempo nos planteamos pasar el tiempo a unidades de espacio obtenemos lo que sería un metro de tiempo: es el tiempo que emplea la luz en recorrer un metro. Así pues se tiene la siguiente fórmula

    \[ t \quad \text{[en metros]} \quad = \quad c \times t \quad \text{[en segundos]} \]

de modo que 1 metro de tiempo es un valor muy pequeño de segundos, en concreto: 1 metro de tiempo es 1/c segundos donde c se expresa en metros/segundo con el conocido valor de c=3\times10^8.

Con esta forma de proceder tenemos que:

1. los metros siguen midiéndose en metros,

2. los segundos ahora se miden en metros de acuerdo a la anterior expresión, y

3. la velocidad en unidades geométricas se relaciona con la velocidad clásica en los siguientes términos

    \[ v \quad \text{[adimensional]} \quad = \quad \frac{v \quad \text{[en metros/segundo]}}{c} \]

de suerte que la velocidad de la luz es unitaria (salvo el signo). A partir de ahora, y salvo que se indique lo contrario, trabajaremos siempre con unidades geométricas.

Propiedades de los sistemas inerciales

Partimos de dos sistemas S y S' que son inerciales con coordenadas (x,y,z,t) y (x',y',z',t'). Un sencillo ejercicio demuestra que el movimiento relativo entre ambos tiene velocidad \vec{v} constante. A continuación vamos a definir dos propiedades que satisfacen los sistemas inerciales:

Definición

Un espacio se dice que es homogéneo si cada punto del espacio es indistinguible, i.e., si todos los puntos son equivalentes.

Definición

Un espacio se dice que es isótropo si cada dirección del mismo es indistinguible, i.e., si todas las direcciones son equivalentes. (Entendemos tanto dirección como sentido.)

Dado cualquier sistema de referencia inercial S con coordenadas (x,y,z,t), ¿qué podemos decir de S en relación a estas dos propiedades? Se tienen los siguientes hechos:

1. Homogeneidad temporal. Todos los instantes de tiempo t son indistinguibles y equivalentes para la física.

2. Homogeneidad espacial. Todos los lugares del espacio son indistinguibles y equivalentes para la física pues el espacio (x,y,z) es euclídeo. (Hay un razón más profunda para esto: tiene curvatura seccional constante.)

3. Isotropía espacial. Todas las direcciones espaciales son igual de buenas e indistinguibles para la física. (Aquí estamos afirmando que nuestro espacio se curva por igual en todas las direcciones. En el caso de un sistema inercial la curvatura es cero en todas las direcciones.)

4. NO isotropía temporal. En relación a la dimensión temporal los dos (únicos) sentidos posibles son el futuro y el pasado. Evidentemente, ambos son distinguibles desde el punto de vista físico. Hay muchos procesos físicos que nos indican hacia dónde apunta la flecha del tiempo. El más evidente de todos es el aumento de la entropía. (¿Conoces alguno más?)

Utilizando la homogeneidad y la isotropía espacial es posible elegir coordenadas cartesianas en ambos sistemas S y S' para que los ejes x y x' sean coincidentes en todo instante de tiempo y apunten además en la dirección y el sentido de la velocidad relativa que relaciona a ambos sistemas. Utilizando ahora la homogeneidad temporal podemos elegir t=t'=0 exactamente cuando los orígenes de ambos sistemas sean coincidentes. Finalmente, utilizando de nuevo la isotropía espacial podemos rotar el plano y'z' hasta hacer coincidentes los ejes y' y z' con los ejes y y z. (Coincidentes tanto en dirección como en sentido. Aquí es necesario asumir que las bases de cada uno de los sistemas tienen la misma orientación.)

Lo que resulta de hacer estas suposiciones está bien dibujado en el siguiente esquema:

Esta configuración tan apañada se suele llamar configuración estándar y nos sirve para eliminar ruido y cuentas innecesarias. Ya en la época de Galileo se sabía que la mecánica para ambos sistemas se relaciona mediante las ecuaciones

    \[ \begin{cases} x' = x -vt \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=t \end{cases} \]

Estas transformaciones de Galileo funcionan genial para la mecánica clásica de modo que las leyes de Newton son invariantes frente a este cambio de coordenadas. De estas transformaciones se deduce rápidamente la ley de adición clásica de velocidades. Así, si (x(t),0,0,t) denota una partícula moviéndose por el eje x en S-coordenadas, sus coordenadas correspondientes en S' vienen dadas por (x(t)-vt,0,0,t) de suerte que la relación entre las velocidades está dada por

    \[ \dot{x'}(t)=\dot{x}(t)-v. \]

Las transformaciones de Lorentz

Observemos que los postulados de Einstein están en clara confrontación con estas transformaciones[mfn]Concretamente, el que está en conflicto es el segundo postulado.[/mfn]. Si x(t) representa un rayo de luz entonces ambos sistemas deberían siempre medir la velocidad c para x por lo que obtendríamos v=0. En consecuencia, debemos encontrar unas nuevas transformaciones para relacionar dos sistemas de referencia inerciales que sean compatibles con los postulados de Einstein.

A grandes rasgos necesitamos una transformación de la forma

    \[ (x,y,z,t) \Longrightarrow (x',y',z',t') \]

que sea compatible con los postulados y que relacione ambos sistemas. Evidentemente, existen infinitas posibilidades para elegir esta transformación así que vamos a acotar el campo de búsqueda imponiendo las restricciones físicas de la teoría. Por otra parte, debemos recordar que esto no es una deducción matemática sino que es una búsqueda cuya validez depende del resultado final no del proceso seguido. (La física es resultadista 😉 como Mourinho.)

En primer lugar supondremos que ambos sistemas se encuentran en configuración estándar. Esto se asumible ya que no hemos modificado nuestras hipótesis sobre las características de los sistemas de referencia inerciales.

Hecho 1. Las transformaciones son lineales

Las funciones de la transformación deben ser lineales. Esto se puede justificar usando diferentes argumentos. El primero y más directo sería diciendo que las únicas transformaciones que llevan rectas a rectas son las afines. (¿Esto es así?) ¿Qué hecho físico respalda esta restricción? Pues que se trata de sistemas de referencia inerciales por lo que las partículas libres se deben mover siguiendo líneas rectas en ambos sistemas.

No obstante, otra argumentación todavía más directa sería la que damos en el dibujo siguiente. Supongamos que una de las funciones no fuese afín. (Por ejemplo x' no lineal en x.) Al representar la gráfica de x'(x) manteniendo el resto de coordenadas constantes observamos que la longitud de una varilla depende de su ubicación algo que entra en clara contradicción con la homogeneidad del espacio. El mismo argumento valdría para cualquier par de coordenadas en los sistemas S' y S.)

De esta forma reducimos así el problema de buscar 4 funciones al desafío de encontrar 20 números reales donde cuatro de ellos se corresponden con las constantes independientes de la transformación afín. Podemos asumir que estos cuatro números son cero ajustando el origen de nuestros sistemas, algo totalmente legítimo usando la homogeneidad del espacio y el tiempo.

Hecho 2. Las medidas perpendiculares al movimiento no se ven afectadas

Lo que queremos afirmar aquí es que las distorsiones y los cambios, en caso de haberlos, sólo se van a presentar en los ejes x y x' ya que tanto y como z se transforman en y' y z' sin cambios. Para demostrar esta afirmación vamos a hacer el siguiente experimento mental. Imaginemos que con el sistema S' viaja un anillo perfectamente circular situado en el plano x'=0 y centrado en el origen de radio r'. ¿Qué forma geométrica observa S en relación a este objeto? El sistema S debe apreciar también un anillo circular pues si no fuera así se violaría la isotropía espacial. Ahora bien, podría ocurrir perfectamente que el radio r observado por S fuera diferente que el radio r'.

A continuación consideremos dos anillos circulares que en reposo son idénticos. Ponemos uno a viajar con S y otro a viajar con S'. En el momento en que t=t'=0 ambos sistemas coinciden en el origen por lo que ambos anillos están en el mismo plano x=x'=0. ¿Qué ocurre con ambos anillos? ¿Chocan? ¿Pasa uno dentro del otro? ¿Otro dentro de uno?

Un examen cuidadoso de la cuestión obliga a que r=r' ya que los dos sistemas son equivalentes para la física. Si, por ejemplo, el sistema S observa que el radio del anillo de S' se contrae entonces desde el punto de vista de S' sería el anillo de S el que sufre una contracción en su radio. Se llega así a una contradicción ya que los dos anillos no pueden pasar por dentro el uno con respecto al otro. La única salida posible es que ambos sigan manteniendo su radio invariante y que choquen al encontrarse en el origen.

Deducción de las transformaciones de Lorentz

A continuación presentamos en formato manuscrito la deducción de las transformaciones de Lorentz. Recordemos que se trata de una cuenta física y no matemática en el sentido de que las cosas valen cuando explican correctamente cómo funciona la realidad. Existe en la literatura una gran cantidad de modos y formas para calcular estas transformaciones pero a nosotros nos gusta especialmente la que mostramos a continuación. La referencia utilizada es:

World fastest derivation of the Lorentz transformations.
Alan Macdonald. Am.J.Phys. 49, 483 (1981)

En concreto, estamos utilizando una versión mejorada de este último artículo proporcionada por el propio Macdonald en su página web. Puedes consultar aquí el PDF de dicha mejora.

De esta forma, consideremos S y S' dos sistemas de referencia inerciales en configuración estándar. Por todo lo comentado en las anteriores secciones podemos reducir el estudio a dos dimensiones (x,t). Para encontrar las transformaciones únicamente asumimos las siguientes hipótesis:

Hipótesis 1 (H1)

La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, c=1 en unidades geométricas para todo observador.

Hipótesis 2 (H2)

El tiempo t' de un reloj en movimiento respecto de un sistema S a velocidad v está afectado por un cambio de ritmo constante dado por una cierta función \gamma(v) en relación al tiempo t que registra el sistema S.

Observemos que H2 hace referencia a un hecho que ya hemos estudiado en la dilatación del tiempo de modo que nosotros conocemos de modo explícito la función \gamma(v) aunque nos podemos permitir el lujo de mantenerla oculta porque vamos sobradísimos. 😀

De hecho, obtendremos una expresión explícita para \gamma(v) dentro del marco de esta deducción. Observemos también que \gamma(v) sólo depende del módulo de la velocidad relativa entre los sistemas. (Más exactamente, del valor absoluto ya que estamos en 1D.)

En primer lugar se tiene que la línea del universo de S' está dada por la ecuación x'=0. Llamaremos r a dicha recta. Observemos que esto ocurre, si y sólo si, x=vt ya que el sistema S' está en configuración estándar en relación a S. Consideremos el siguiente experimento: el observador S' emite un pulso de luz en G, éste rebota en un espejo situado en la posición E y regresa al observador S' en F. Podemos ilustrarlo con el siguiente diagrama:

El diagrama espacio-tiempo del experimento

La condición H2 puede expresarse en los siguientes términos: t=\gamma t'. A lo largo de la recta r se cumple que:

(1)   \begin{eqnarray*} t+x = \gamma t' + vt & = & \gamma t' + v\gamma t' = \\ & = & \gamma (1+v) t' = \gamma (1+v)(t'+x') \end{eqnarray*}

donde en la ultima igualdad estamos usando que x'=0 al estar en la recta r. Análogamente se tiene:

(2)   \begin{equation*} t-x = \gamma (1-v) t' = \gamma (1-v)(t' -x') \end{equation*}

donde de nuevo usamos que x'=0 al estar en la recta r. A continuación observemos que t+x debe ser constante tanto en F como en E ya que la pendiente de la recta L^{-} que une dichos puntos es -1. Lo mismo podemos afirmar para la cantidad t'+x'.

Conclusión: la ecuación (1) es válida tanto en F (obvio) como en E.

Aplicamos el mismo argumento ahora para el rayo de luz que, partiendo de G, alcanza el evento E. Como ahora la pendiente de L^{+} es 1, la ecuación (2) es válida tanto en G como en E.

Conclusión: las ecuaciones (1) y (2) son válidas en E que es un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Sumando ambas:

    \begin{eqnarray*} & t+x & = & \gamma (1+v)(t'+x')\\ +) \quad & t-x & = & \gamma (1-v)(t'-x') \\ = \quad & 2t & = & \gamma (2t'+2vx'). \end{eqnarray*}

De suerte que nos queda

(3)   \begin{equation*} t = \gamma (t'+vx'). \end{equation*}

Si en lugar de sumar hacemos la diferencia entre (1) y (2) llegamos a

(4)   \begin{equation*} x= \gamma (vt'+x'). \end{equation*}

¿Cómo terminamos?

Final 1

La hipótesis t=\gamma t' hace referencia a los tiempos t que mide S respecto de un reloj solidario con S' que marca el tiempo t'. Recordemos que esto es simplemente la fórmula que apareció en el reloj de luz para la dilatación del tiempo donde t'=t_0 en la fórmula

    \[ t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \]

Así se llega a que

    \[ \gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \]

que es lo que se conoce como el factor de Lorentz. (Recordemos que estamos trabajando en unidades geométricas.) Las transformaciones quedan, en definitiva, en los siguientes términos:

    \[ \begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(x'+vt')\\ t=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(vx'+t'). \end{cases} \]

Final 2

Si escribimos x=0 en (4) entonces se tiene x'=-vt' que describe el movimiento del origen de S en términos del observador S'. Así, S tiene velocidad -v respecto de S'. Intercambiamos los roles de S y S' y la ecuación (1) quedaría así:

(5)   \begin{equation*} t'+x'=\gamma(v)(1-v)(t+x) \end{equation*}

donde hemos utilizado que \gamma(v)=\gamma(-v)=\gamma por la hipótesis H1. Ponemos ahora (5) en (1) y sale

    \begin{eqnarray*} t+x &=& \gamma (1+v)(t'+x') = \\ &=&\gamma (1+v)\gamma(1-v)(t+x)=\gamma^2(1-v^2)(t+x) \end{eqnarray*}

y se obtiene finalmente

    \[ \gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}. \]

En cualquier caso, para los dos finales, se lleva a la expresión de las transformaciones de Lorentz que escribimos tomando la inversa:

    \[ \begin{cases} x'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(x-vt)\\ t'=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(-vx+t). \end{cases} \]

En la próxima lección exprimiremos estas transformaciones y veremos muchas de sus consecuencias.

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]]> https://gravitacion.es/las-transformaciones-de-lorentz/feed/ 0 Postulados de la Relatividad Especial https://gravitacion.es/postulados-de-la-relatividad-especial/ https://gravitacion.es/postulados-de-la-relatividad-especial/#respond Wed, 04 Jan 2017 21:47:42 +0000 https://gravitacion.es/?page_id=299 Basándonos en el artículo de 1905 de Einstein, presentamos los postulados de la Relatividad Especial y definimos con precisión qué es un sistema de referencia.

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]]> En la clase de hoy vamos a estudiar el artículo de Einstein de 1905 que dio origen a la Relatividad Especial. No es la primera vez que hablamos de este trabajo y ya comentamos hace unos días que, en la introducción del mismo, Einstein mencionó dos puntos clave para arribar a su teoría: de un lado, el electromagnetismo de Maxwell y, de otro, el resultado inesperado en el experimento de Michelson-Morley.

Así, tanto las asimetrías aparentes del electromagnetismo como la imposibilidad de determinar el movimiento relativo con respecto al éter llevaron a Einstein a formular los dos siguientes postulados:Los enunciados de los postulados pueden realizarse de varias formas equivalentes. Éstos que yo he puesto son elaborados de mi propia cosecha.

Postulado 1

Todos los sistemas de referencia inerciales son idénticos para la formulación de las leyes de la física. En otras palabras, es imposible distinguir un sistema de referencia inercial privilegiado con respecto a los otros realizando experimentos físicos.

Postulado 2

La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal y siempre es la misma con independencia de la fuente y el estado físico del observador que la mide.

¿Qué implicaciones tienen estos postulados? ¿Hasta qué punto modifican las ideas de la física clásica? Vamos a ver enseguida que las consecuencias son brutales hasta el punto de romper con las ideas absolutas de espacio y tiempo tal y como se entendían en la época. Para ello, debemos en primer lugar entender qué es un sistema de referencia y, posteriormente, un sistema de referencia inercial.

Sistemas de referencia.

Para ello, conviene definir en primer lugar el siguiente concepto.

Definición

Un evento (o suceso) es algo que sucede en una posición determinada del espacio en un momento concreto de tiempo.

A continuación, definimos el concepto central de esta sección:

Definición

Un sistema de referencia S consiste de un observador O que es capaz de medir distancias y tiempos   de modo que registra cuanto sucede en el espacio y el tiempo. El observador O asigna a cada evento A unas coordenadas en el espacio y en el tiempo.

Así, en un sistema S para un espacio 1-dimensional, un evento A se representa por el par (x_A,t_A) donde x_A es la posición en el espacio y t_A su localización en el tiempo. En ocasiones, resulta conveniente expresar que dichas coordenadas están referidas al sistema S, por lo que se escribe así:

    \[ A=(x_A,t_A)_S. \]

Si existe otro sistema S' con un observador O', éste registrará normalmente otras coordenadas para un mismo evento A y escribirá

    \[ A=(x_A',t_A')_{S'}. \]

Para grabar las coordenadas espaciales se usa, normalmente, un sistema de ejes cartesianosEvidentemente es posible elegir otras coordenadas cualesquiera pero las cartesianas suelen ser las más sencillas de manejar. Únicamente en problemas con simetría esférica nos interesará trabajar con polares para dos dimensiones espaciales y esféricas para tres espaciales.. Tenemos así una malla en el espacio cuyo tamaño está dado por la unidad de medida que estemos utilizando. (Habitualmente, esta unidad de medida es el metro.)

Para registrar la coordenada temporal de un suceso vamos a diseñar un sistema común de tiempos. Se trata de una idealización en los siguientes términos: pensemos que en cada localización del espacio hay colocado un reloj. Todos ellos son relojes idénticos en el sentido de que marcan el tiempo de igual forma: un reloj atómico, un corazón humano, un proceso biológico, físico o químico en las mismas condiciones, etc.

Debido a la homogeneidad del espacio, todos estos relojes deben seguir marcando el tiempo de igual modo con independencia de su localización en el espacio. Además, vamos a suponer que todos estos relojes están sincronizados. ¿Qué significa esto? Pues lo siguiente: imaginemos dos relojes situados en dos localizaciones espaciales x_A y x_B. Diremos que ambos están sincronizados si, al enviar una señal luminosa el reloj A al reloj B en el instante t_A, el reloj B la recibe en el instante t_B siendo

    \[ t_B = \frac{|x_B-x_A|}{c}+t_A. \]

En realidad, podríamos utilizar cualquier otro tipo de señal dentro de nuestro sistema S siempre y cuando la señal se transmita a velocidad constante con independencia de la dirección. Otros ejemplos serían un bala de cañón, el sonido si no hay viento, etc.

Observación

La hipótesis de que el espacio es homogéneo es esencial para la construcción de este sistema común de tiempos. Pronto veremos en otras lecciones como resulta imposible mantener dicho sistema común pues falla la sincronización de relojes en posiciones espaciales diferentes. ¿Ejemplos? Sistemas de referencia en rotación y sistemas en los que hay curvatura.

De esta forma nuestro sistema de referencia S es capaz de asignar a cada evento una ubicación en el espacio en un instante de tiempo. El observador O puede estar bien seguro de que todo se mide de forma correcta sin atender a complicaciones del estilo: el tiempo que tardo en ver lo que ocurre. (Lo que significa esta última afirmación se enmarca dentro de la distinción esencial entre observar y ver. Así, observar un fenómeno es un proceso mediante el cual le asignamos a un evento unas coordenadas en el tiempo y en el espacio tal y como las registra nuestro sistema de referencia. Sin embargo, ver un fenómeno implica que, un evento que sucede en alguna localización del espacio-tiempo, nosotros lo vemos con los ojos de modo que nuestra forma de percibirlo depende esencialmente de nuestra localización en el espacio así como de nuestro estado físico.)

Sistema de referencia inercial.

De entre todos los sistemas de referencia, nos interesan aquellos en los que la física se expresa de la forma más sencilla y nítida. Si ya de por sí es complicado analizar los fenómenos físicos, tampoco parece inteligente complicarnos la vida eligiendo sistemas de referencia que perturban, ensucian y contaminan los experimentos con efectos y ruidos que para nada tienen que ver con el trasfondo de los mismos.

En primer lugar tengamos presente la siguiente definición:

Definición

Una partícula libre es un cuerpo que no está afectado por ninguna fuerza.

Observemos que se trata de una definición ideal pues, en la práctica, la gravedad como fuerza está presente en cualquier lugar del espacio. Aún así, sus efectos pueden ser despreciables cuando nos encontramos suficientemente alejados de las fuentes del campo gravitatorio.

Definición

Un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el cual son válidas las leyes de la Mecánica de Newton.

Observemos que, para poder definir un sistema como inercial, es necesaria la total ausencia de campos de fuerzas con objeto de que las partículas puedan moverse libremente. Pero esta condición no es suficiente. El observador inercialmente también debe estar no acelerado. (Por ejemplo, en un ambiente inercial, si un observador está en rotación, verá que partículas libres siguen trayectorias circulares o helicoidales.)

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