sincronización de relojes Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/sincronizacion-de-relojes/ Geometría § Relatividad § Universo Tue, 29 Mar 2022 10:24:12 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.8.3 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png sincronización de relojes Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/sincronizacion-de-relojes/ 32 32 GPS y Relatividad (II) https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/ https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/#comments Fri, 19 Oct 2018 10:32:36 +0000 http://gravitacion.montanasdelsur.es/?p=177 Estudiamos los efectos cuantitativos de la relatividad en el funcionamiento del GPS para discernir cuáles de ellos son los más importantes.

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]]> Biblio

Exploring Black Holes. An introduction to Einstein General Relativity
Edwin F. Taylor y John A. Wheeler. Addison Wesley. 2000.

Introduction to Relativistic Effects on the Global Positioning System
N.Ashby y J.J.Spilker. Progress in Astronautics and Aeronautics. 163 Capítulo 18.I.

Rasgos básicos del GPS

El sistema GPS incluye 24 satélites en órbita circular alrededor de la Tierra con período orbital de 12 horas. Los satélites se distribuyen en 6 planos orbitales y éstos están separados con el mismo ángulo. Cada satélite transporta un reloj atómico y emite señales de radio en las que codifica tanto su tiempo como su posición.

Analizando las señales de, al menos, cuatro de estos satélites, un receptor en la superficie terrestre con su microprocesador interno puede calcular su localización: latitud, longitud y altitud. Además, puede corregir su reloj para que esté continuamente sincronizado con los relojes atómicos de los satélites. (Véase la clase anterior.)

Los receptores de uso común tienen el tamaño de una calculadora, cuestan unos cientos de euros y una precisión horizontal del orden de 25 metros. Originalmente las señales del satélite contenían un ruido intencionado para hacer los receptores civiles poco precisos. Los receptores militares podían descodificar y eliminar dicho ruido. Desde la primavera del año 2000 esta peculiaridad fue eliminada. El sistema GPS ha revolucionado muchas áreas de la experiencia humana como la conducción, el vuelo, la exploración, la montaña, el rescate, la topografía y la geología.

Ejemplo

En una maniobra de aproximación de aterrizaje el aeropuerto utiliza un GPS en la torre de control y el avión lleva otro en la cabina. Los dos receptores están tan próximos que de esta forma se cancelan los errores de propagación de las señales a través de las capas altas de la atmósfera. De este modo, se tiene la posición del aeroplano con una precisión de menos de un metro.

La precisión en las medidas del tiempo que requiere el sistema GPS es tan alta que los efectos relativistas son vitales para su buen funcionamiento. Ya vimos en la clase anterior que los relojes funcionan de manera diferente según su posición en un campo gravitatorio. Además, tanto el satélite como el receptor en la Tierra tienen una velocidad relativa por lo que debemos tener presente el efecto de la relatividad especial y la dilatación del tiempo.

La importancia de sincronizar los relojes

En el operativo del GPS necesitamos que los relojes estén sincronizados. Para ello lo mejor es basarnos en el siguiente esquema:

Relojes estacionarios a diferentes alturas

En la lección Relojes en un campo gravitatorio elaboramos una estimación sobre la diferencia entre dos relojes que se encuentran situados a diferentes alturas dentro de un campo gravitatorio. La ecuación que obtuvimos fue

(1)   \begin{equation*} \nu_B=(1 + \frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2})\nu_A. \end{equation*}

donde \nu_A (resp. \nu_B) representaba la frecuencia que mide Alicia a mayor altura (resp. Bernardo a menor altura). Si identificamos la A de Alicia con el satélite, la B de Bernardo con el receptor GPS en la tierra y tomamos los inversos de las frecuencias, tendríamos ahora

(2)   \begin{equation*} t_s=(1 + \frac{\Phi_s-\Phi_r}{c^2})t_r \end{equation*}

donde ahora t_s (resp. t_r) denota el tiempo transcurrido entre dos tics sucesivos en el satélite (resp. entre la recepción de esos dos tics en la superficie terrestre). Vamos a estimar cuánto es exactamente esta diferencia de tiempo. Para ello, recordemos que

    \begin{eqnarray*} G & = & 6,67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2,\\ M & = & 5,97 \times 10^{24} \text{ kg y} \\ r & = & 6,47 \times 10^6 \text{ m.} \end{eqnarray*}

Por otra parte, necesitamos saber la altura a la que se desplaza el satélite. La fuerza de la gravedad que actúa sobre el satélite se iguala con la fuerza centrífuga por lo que

    \[ \frac{GMm}{r_s^2}=m\frac{v^2}{r_s} \]

siendo m la masa del satélite y v su velocidad lineal. Despejamos ahora v y obtenemos

    \[ v=\sqrt{\frac{GM}{r_s}}. \]

Por otro lado, cuando el satélite completa una vuelta alrededor de la tierra se cumple

    \[ Tv=2\pi r_s. \]

Como T=12 horas tenemos el sistema

    \begin{eqnarray*} 12v & = & 2\pi r_s\\ v & = & \sqrt{\frac{GM}{r_s}} \end{eqnarray*}

del que se obtiene que

    \begin{eqnarray*} v & = & 4 \text{ km/s}\\ r_s & = & 2,7 \times 10^4 \text{ km.} \end{eqnarray*}

Hacemos algunas cuentas más. Para el potencial del satélite se tiene

    \[ \frac{\Phi_s}{c^2}=-\frac{GM}{r_sc^2}=-1,669689\times10^{-10} \]

mientras que para el potencial del receptor se llega a

    \[ \frac{\Phi_r}{c^2}=-\frac{GM}{rc^2}=-6,9534858\times10^{-10} \]

por lo que finalmente

(3)   \begin{equation*} t_s=(1 + 5,2837986\times10^{-10})t_r. \end{equation*}

¿Qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que pasa los dos relojes tienen una diferencia del orden de la mitad de un nanosegundo. A lo largo de un día transcurren unos 100.000 segundos por lo que se acumula un error de 50.000 nanosegundos grosso modo. Si cada nanosegundo supone un error de 0,3 metros, entonces estaremos cometiendo un error global en el día acumulado de 15 kilómetros. Completamente inadmisible.

A continuación veamos en un esquema cuál es la situación descrita en estas últimas cuentas.

Relojes en movimiento relativo a la misma altura

Tal y como explicamos en la clase anterior la relación entre el tiempo transcurrido en el satélite t_s y el tiempo observado por el receptor t_r está dada por

    \[ t_r=\frac{t_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

o equivalentemente

    \[ t_s=\sqrt{1-v^2/c^2}t_r. \]

Para estimar el valor de esta cantidad haremos una aproximación por Taylor en el valor de v^2/c^2 de suerte que

    \[ \sqrt{1-v^2/c^2}=1-\frac{v^2}{2c^2} \]

donde no tenemos en cuenta los términos de orden mayor o igual que dos en la variable v^2/c^2. (Obsérvese que v^4/c^4 es del orden 10^{2-33}=10^{-31}.) Si ahora introducimos los valores de v y c en la anterior expresión llegamos a

(4)   \begin{equation*} t_s=(1-0,83485\times 10^{-10})t_r. \end{equation*}

De nuevo, ¿qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que transcurre en el satélite, el observador terrestre mide algo más de un segundo. Comparando la ecuación (3) con (4) se deduce que el efecto gravitatorio es del orden 5 veces mayor que el efecto dado por la diferencia de velocidades y de signo contrario.

Veamos ahora un esquema de cuál es la situación en un diagrama espacio-tiempo.

Otros efectos a tener en cuenta

El sistema GPS es muy complejo y existen otros muchos factores a tener en cuenta. En la bibliografía aportada puede consultarse la gran cantidad de aspectos técnicos que hay involucrados. En nuestro análisis, a muy bajo coste, podríamos hablar también de la velocidad de rotación terrestre que es del orden de 470 metros por segundo en el ecuador, unas 10 veces inferior a la velocidad del satélite.

No obstante, con los efectos ya explicados de la relatividad especial y general pensamos que ya hemos justificado suficientemente el por qué deben ser tenidos en cuenta a la hora de mantener operativo el sistema.

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]]> https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/feed/ 1 Postulados de la Relatividad Especial https://gravitacion.es/postulados-de-la-relatividad-especial/ https://gravitacion.es/postulados-de-la-relatividad-especial/#respond Wed, 04 Jan 2017 21:47:42 +0000 https://gravitacion.es/?page_id=299 Basándonos en el artículo de 1905 de Einstein, presentamos los postulados de la Relatividad Especial y definimos con precisión qué es un sistema de referencia.

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]]> En la clase de hoy vamos a estudiar el artículo de Einstein de 1905 que dio origen a la Relatividad Especial. No es la primera vez que hablamos de este trabajo y ya comentamos hace unos días que, en la introducción del mismo, Einstein mencionó dos puntos clave para arribar a su teoría: de un lado, el electromagnetismo de Maxwell y, de otro, el resultado inesperado en el experimento de Michelson-Morley.

Así, tanto las asimetrías aparentes del electromagnetismo como la imposibilidad de determinar el movimiento relativo con respecto al éter llevaron a Einstein a formular los dos siguientes postulados:Los enunciados de los postulados pueden realizarse de varias formas equivalentes. Éstos que yo he puesto son elaborados de mi propia cosecha.

Postulado 1

Todos los sistemas de referencia inerciales son idénticos para la formulación de las leyes de la física. En otras palabras, es imposible distinguir un sistema de referencia inercial privilegiado con respecto a los otros realizando experimentos físicos.

Postulado 2

La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal y siempre es la misma con independencia de la fuente y el estado físico del observador que la mide.

¿Qué implicaciones tienen estos postulados? ¿Hasta qué punto modifican las ideas de la física clásica? Vamos a ver enseguida que las consecuencias son brutales hasta el punto de romper con las ideas absolutas de espacio y tiempo tal y como se entendían en la época. Para ello, debemos en primer lugar entender qué es un sistema de referencia y, posteriormente, un sistema de referencia inercial.

Sistemas de referencia.

Para ello, conviene definir en primer lugar el siguiente concepto.

Definición

Un evento (o suceso) es algo que sucede en una posición determinada del espacio en un momento concreto de tiempo.

A continuación, definimos el concepto central de esta sección:

Definición

Un sistema de referencia S consiste de un observador O que es capaz de medir distancias y tiempos   de modo que registra cuanto sucede en el espacio y el tiempo. El observador O asigna a cada evento A unas coordenadas en el espacio y en el tiempo.

Así, en un sistema S para un espacio 1-dimensional, un evento A se representa por el par (x_A,t_A) donde x_A es la posición en el espacio y t_A su localización en el tiempo. En ocasiones, resulta conveniente expresar que dichas coordenadas están referidas al sistema S, por lo que se escribe así:

    \[ A=(x_A,t_A)_S. \]

Si existe otro sistema S' con un observador O', éste registrará normalmente otras coordenadas para un mismo evento A y escribirá

    \[ A=(x_A',t_A')_{S'}. \]

Para grabar las coordenadas espaciales se usa, normalmente, un sistema de ejes cartesianosEvidentemente es posible elegir otras coordenadas cualesquiera pero las cartesianas suelen ser las más sencillas de manejar. Únicamente en problemas con simetría esférica nos interesará trabajar con polares para dos dimensiones espaciales y esféricas para tres espaciales.. Tenemos así una malla en el espacio cuyo tamaño está dado por la unidad de medida que estemos utilizando. (Habitualmente, esta unidad de medida es el metro.)

Para registrar la coordenada temporal de un suceso vamos a diseñar un sistema común de tiempos. Se trata de una idealización en los siguientes términos: pensemos que en cada localización del espacio hay colocado un reloj. Todos ellos son relojes idénticos en el sentido de que marcan el tiempo de igual forma: un reloj atómico, un corazón humano, un proceso biológico, físico o químico en las mismas condiciones, etc.

Debido a la homogeneidad del espacio, todos estos relojes deben seguir marcando el tiempo de igual modo con independencia de su localización en el espacio. Además, vamos a suponer que todos estos relojes están sincronizados. ¿Qué significa esto? Pues lo siguiente: imaginemos dos relojes situados en dos localizaciones espaciales x_A y x_B. Diremos que ambos están sincronizados si, al enviar una señal luminosa el reloj A al reloj B en el instante t_A, el reloj B la recibe en el instante t_B siendo

    \[ t_B = \frac{|x_B-x_A|}{c}+t_A. \]

En realidad, podríamos utilizar cualquier otro tipo de señal dentro de nuestro sistema S siempre y cuando la señal se transmita a velocidad constante con independencia de la dirección. Otros ejemplos serían un bala de cañón, el sonido si no hay viento, etc.

Observación

La hipótesis de que el espacio es homogéneo es esencial para la construcción de este sistema común de tiempos. Pronto veremos en otras lecciones como resulta imposible mantener dicho sistema común pues falla la sincronización de relojes en posiciones espaciales diferentes. ¿Ejemplos? Sistemas de referencia en rotación y sistemas en los que hay curvatura.

De esta forma nuestro sistema de referencia S es capaz de asignar a cada evento una ubicación en el espacio en un instante de tiempo. El observador O puede estar bien seguro de que todo se mide de forma correcta sin atender a complicaciones del estilo: el tiempo que tardo en ver lo que ocurre. (Lo que significa esta última afirmación se enmarca dentro de la distinción esencial entre observar y ver. Así, observar un fenómeno es un proceso mediante el cual le asignamos a un evento unas coordenadas en el tiempo y en el espacio tal y como las registra nuestro sistema de referencia. Sin embargo, ver un fenómeno implica que, un evento que sucede en alguna localización del espacio-tiempo, nosotros lo vemos con los ojos de modo que nuestra forma de percibirlo depende esencialmente de nuestra localización en el espacio así como de nuestro estado físico.)

Sistema de referencia inercial.

De entre todos los sistemas de referencia, nos interesan aquellos en los que la física se expresa de la forma más sencilla y nítida. Si ya de por sí es complicado analizar los fenómenos físicos, tampoco parece inteligente complicarnos la vida eligiendo sistemas de referencia que perturban, ensucian y contaminan los experimentos con efectos y ruidos que para nada tienen que ver con el trasfondo de los mismos.

En primer lugar tengamos presente la siguiente definición:

Definición

Una partícula libre es un cuerpo que no está afectado por ninguna fuerza.

Observemos que se trata de una definición ideal pues, en la práctica, la gravedad como fuerza está presente en cualquier lugar del espacio. Aún así, sus efectos pueden ser despreciables cuando nos encontramos suficientemente alejados de las fuentes del campo gravitatorio.

Definición

Un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el cual son válidas las leyes de la Mecánica de Newton.

Observemos que, para poder definir un sistema como inercial, es necesaria la total ausencia de campos de fuerzas con objeto de que las partículas puedan moverse libremente. Pero esta condición no es suficiente. El observador inercialmente también debe estar no acelerado. (Por ejemplo, en un ambiente inercial, si un observador está en rotación, verá que partículas libres siguen trayectorias circulares o helicoidales.)

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