gps Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/gps/ Geometría § Relatividad § Universo Mon, 24 May 2021 10:27:09 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.8.3 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png gps Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/gps/ 32 32 GPS y Relatividad (II) https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/ https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/#comments Fri, 19 Oct 2018 10:32:36 +0000 http://gravitacion.montanasdelsur.es/?p=177 Estudiamos los efectos cuantitativos de la relatividad en el funcionamiento del GPS para discernir cuáles de ellos son los más importantes.

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]]> Biblio

Exploring Black Holes. An introduction to Einstein General Relativity
Edwin F. Taylor y John A. Wheeler. Addison Wesley. 2000.

Introduction to Relativistic Effects on the Global Positioning System
N.Ashby y J.J.Spilker. Progress in Astronautics and Aeronautics. 163 Capítulo 18.I.

Rasgos básicos del GPS

El sistema GPS incluye 24 satélites en órbita circular alrededor de la Tierra con período orbital de 12 horas. Los satélites se distribuyen en 6 planos orbitales y éstos están separados con el mismo ángulo. Cada satélite transporta un reloj atómico y emite señales de radio en las que codifica tanto su tiempo como su posición.

Analizando las señales de, al menos, cuatro de estos satélites, un receptor en la superficie terrestre con su microprocesador interno puede calcular su localización: latitud, longitud y altitud. Además, puede corregir su reloj para que esté continuamente sincronizado con los relojes atómicos de los satélites. (Véase la clase anterior.)

Los receptores de uso común tienen el tamaño de una calculadora, cuestan unos cientos de euros y una precisión horizontal del orden de 25 metros. Originalmente las señales del satélite contenían un ruido intencionado para hacer los receptores civiles poco precisos. Los receptores militares podían descodificar y eliminar dicho ruido. Desde la primavera del año 2000 esta peculiaridad fue eliminada. El sistema GPS ha revolucionado muchas áreas de la experiencia humana como la conducción, el vuelo, la exploración, la montaña, el rescate, la topografía y la geología.

Ejemplo

En una maniobra de aproximación de aterrizaje el aeropuerto utiliza un GPS en la torre de control y el avión lleva otro en la cabina. Los dos receptores están tan próximos que de esta forma se cancelan los errores de propagación de las señales a través de las capas altas de la atmósfera. De este modo, se tiene la posición del aeroplano con una precisión de menos de un metro.

La precisión en las medidas del tiempo que requiere el sistema GPS es tan alta que los efectos relativistas son vitales para su buen funcionamiento. Ya vimos en la clase anterior que los relojes funcionan de manera diferente según su posición en un campo gravitatorio. Además, tanto el satélite como el receptor en la Tierra tienen una velocidad relativa por lo que debemos tener presente el efecto de la relatividad especial y la dilatación del tiempo.

La importancia de sincronizar los relojes

En el operativo del GPS necesitamos que los relojes estén sincronizados. Para ello lo mejor es basarnos en el siguiente esquema:

Relojes estacionarios a diferentes alturas

En la lección Relojes en un campo gravitatorio elaboramos una estimación sobre la diferencia entre dos relojes que se encuentran situados a diferentes alturas dentro de un campo gravitatorio. La ecuación que obtuvimos fue

(1)   \begin{equation*} \nu_B=(1 + \frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2})\nu_A. \end{equation*}

donde \nu_A (resp. \nu_B) representaba la frecuencia que mide Alicia a mayor altura (resp. Bernardo a menor altura). Si identificamos la A de Alicia con el satélite, la B de Bernardo con el receptor GPS en la tierra y tomamos los inversos de las frecuencias, tendríamos ahora

(2)   \begin{equation*} t_s=(1 + \frac{\Phi_s-\Phi_r}{c^2})t_r \end{equation*}

donde ahora t_s (resp. t_r) denota el tiempo transcurrido entre dos tics sucesivos en el satélite (resp. entre la recepción de esos dos tics en la superficie terrestre). Vamos a estimar cuánto es exactamente esta diferencia de tiempo. Para ello, recordemos que

    \begin{eqnarray*} G & = & 6,67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2,\\ M & = & 5,97 \times 10^{24} \text{ kg y} \\ r & = & 6,47 \times 10^6 \text{ m.} \end{eqnarray*}

Por otra parte, necesitamos saber la altura a la que se desplaza el satélite. La fuerza de la gravedad que actúa sobre el satélite se iguala con la fuerza centrífuga por lo que

    \[ \frac{GMm}{r_s^2}=m\frac{v^2}{r_s} \]

siendo m la masa del satélite y v su velocidad lineal. Despejamos ahora v y obtenemos

    \[ v=\sqrt{\frac{GM}{r_s}}. \]

Por otro lado, cuando el satélite completa una vuelta alrededor de la tierra se cumple

    \[ Tv=2\pi r_s. \]

Como T=12 horas tenemos el sistema

    \begin{eqnarray*} 12v & = & 2\pi r_s\\ v & = & \sqrt{\frac{GM}{r_s}} \end{eqnarray*}

del que se obtiene que

    \begin{eqnarray*} v & = & 4 \text{ km/s}\\ r_s & = & 2,7 \times 10^4 \text{ km.} \end{eqnarray*}

Hacemos algunas cuentas más. Para el potencial del satélite se tiene

    \[ \frac{\Phi_s}{c^2}=-\frac{GM}{r_sc^2}=-1,669689\times10^{-10} \]

mientras que para el potencial del receptor se llega a

    \[ \frac{\Phi_r}{c^2}=-\frac{GM}{rc^2}=-6,9534858\times10^{-10} \]

por lo que finalmente

(3)   \begin{equation*} t_s=(1 + 5,2837986\times10^{-10})t_r. \end{equation*}

¿Qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que pasa los dos relojes tienen una diferencia del orden de la mitad de un nanosegundo. A lo largo de un día transcurren unos 100.000 segundos por lo que se acumula un error de 50.000 nanosegundos grosso modo. Si cada nanosegundo supone un error de 0,3 metros, entonces estaremos cometiendo un error global en el día acumulado de 15 kilómetros. Completamente inadmisible.

A continuación veamos en un esquema cuál es la situación descrita en estas últimas cuentas.

Relojes en movimiento relativo a la misma altura

Tal y como explicamos en la clase anterior la relación entre el tiempo transcurrido en el satélite t_s y el tiempo observado por el receptor t_r está dada por

    \[ t_r=\frac{t_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

o equivalentemente

    \[ t_s=\sqrt{1-v^2/c^2}t_r. \]

Para estimar el valor de esta cantidad haremos una aproximación por Taylor en el valor de v^2/c^2 de suerte que

    \[ \sqrt{1-v^2/c^2}=1-\frac{v^2}{2c^2} \]

donde no tenemos en cuenta los términos de orden mayor o igual que dos en la variable v^2/c^2. (Obsérvese que v^4/c^4 es del orden 10^{2-33}=10^{-31}.) Si ahora introducimos los valores de v y c en la anterior expresión llegamos a

(4)   \begin{equation*} t_s=(1-0,83485\times 10^{-10})t_r. \end{equation*}

De nuevo, ¿qué significa esta última expresión? Pues que por cada segundo que transcurre en el satélite, el observador terrestre mide algo más de un segundo. Comparando la ecuación (3) con (4) se deduce que el efecto gravitatorio es del orden 5 veces mayor que el efecto dado por la diferencia de velocidades y de signo contrario.

Veamos ahora un esquema de cuál es la situación en un diagrama espacio-tiempo.

Otros efectos a tener en cuenta

El sistema GPS es muy complejo y existen otros muchos factores a tener en cuenta. En la bibliografía aportada puede consultarse la gran cantidad de aspectos técnicos que hay involucrados. En nuestro análisis, a muy bajo coste, podríamos hablar también de la velocidad de rotación terrestre que es del orden de 470 metros por segundo en el ecuador, unas 10 veces inferior a la velocidad del satélite.

No obstante, con los efectos ya explicados de la relatividad especial y general pensamos que ya hemos justificado suficientemente el por qué deben ser tenidos en cuenta a la hora de mantener operativo el sistema.

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]]> https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-ii/feed/ 1 GPS y Relatividad (I) https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-i/ https://gravitacion.es/gps-y-relatividad-i/#comments Fri, 05 Oct 2018 09:00:24 +0000 http://gravitacion.montanasdelsur.es/?p=1 Explicamos a nivel teórico cómo influye la teoría de la relatividad para asegurar el correcto funcionamiento del GPS.

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]]> Introducción al sistema GPS

«There is no better illustration of the unpredictable payback of fundamental science than the story of Albert Einstein and the Global Positioning System. The next time your plane approaches an airport in bad weather, and you just happen to be wondering what good is basic science, think about Einstein and the GPS tracker in the cockpit, guiding you to a safe landing.»

Clifford Will

El GPS es el primero de los dispositivos, con la única excepción de los aceleradores de partículas, en el que los efectos relativistas deben ser tenidos en cuenta para el correcto funcionamiento del mismo. Esto es así por tres motivos:

1. Los satélites GPS se desplazan a una gran velocidad,

2. Existe una diferencia de potencial significativa entre los satélites y el receptor en la superficie, y

3. La rotación de la Tierra también afecta sustancialmente al funcionamiento de los aparatos.

Si bien los efectos cuantitativos son extremadamente pequeños, la precisión del sistema exige ajustar las operaciones hasta más allá del orden de los nanosegundos que es la magnitud en la que trabajan los relojes atómicos incorporados en los satélites y en el sistema global. (En la actualidad, los relojes atómicos de los satélites son precisos hasta el orden 10^{-14}.)

Pero antes de continuar vamos a entender cómo funciona un GPS de forma esquemática. Para ello nos colocamos en un mundo uno-dimensional y consideramos los siguientes ingredientes:

– Un satélite que emite señales en las que codifica su posición en el eje x y el tiempo de la emisión t, y

– Un aparato receptor situado en un lugar por determinar.

El satélite emite entonces una señal (x_0,t_0) de forma periódica y el receptor la recibe en el instante t_1. Si el receptor desea saber su posición x_1 en el eje x basta resolver la ecuación

    \[ |x_1-x_0|=c(t_1-t_0) \]

donde, salvo x_1, los demás datos son conocidos. Observemos que existe una indeterminación en el signo que puede ser resuelta gracias a la intervención de un segundo satélite.

El problema análogo para dos dimensiones exige el concurso de tres satélites mientras que, para tres dimensiones espaciales, se requieren cuatro satélites como mínimo para determinar con exactitud la posición.

Observemos entonces que la clave para el buen funcionamiento del sistema está en la correcta medición de los tiempos t_1 (receptor) y t_0 (emisor). Observemos también que errores pequeños en el cálculo de esta diferencia suponen cálculos en la distancia muy apartados de la realidad ya que la constante c por la que se multiplica tiene un valor muy alto. Por ejemplo, un error de nanosegundos (del orden 10^{-9}) por cada segundo supondría un desplazamiento dado por

    \[ 10^{-9}\times 3 \times 10^8 =0,3 \text{m} \]

por lo que nos apartaríamos 30 centímetros de nuestra posición. El asunto está en que este efecto indeseado se iría acumulando en el sistema y cuando haya pasado un minuto el error ya sería de 18 metros, algo inadmisible.

Pregunta

¿Acaso llevamos nosotros un reloj atómico en nuestro receptor? Para nada. El reloj en nuestro GPS de mano tiene mucha menos precisión que los relojes atómicos de los satélites. Este problema se subsana con la señal adicional de un nuevo satélite de control que corrige de forma casi continua el reloj de nuestro dispositivo.

Con las señales de dos satélites determinamos espacio y tiempo en un mundo 1D

En la próxima clase veremos con más detalle con funciona exactamente el sistema, cómo mide el tiempo el receptor y cuál es la magnitud de los errores cometidos. En la presente nos vamos a dedicar a presentar someramente los aspectos teóricos de la Relatividad por los cuales las operaciones del GPS se ven afectadas.

La dilatación del tiempo

En la lección La dilatación del tiempo hemos estudiado el comportamiento de dos relojes en movimiento relativo uno con respecto a otro dentro del marco de la relatividad especial. Así, con la notación específica para la clase en la que estamos trabajando, se tiene que

    \[ t_r=\frac{t_s}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

donde t_s representa el tiempo medido por un observador en reposo en relación al experimento que estamos tratando. (En este caso, el experimento consiste en observar el tiempo transcurrido entre dos tic-tac para un reloj situado en el satélite tal y como lo mide alguien que viaja solidario con el satélite.)

Por otra parte, t_r representa el tiempo medido por un observador que se encuentra en movimiento relativo a velocidad v con respecto al sistema en el que se desarrolla el experimento. (En este contexto, un observador en la superficie terrestre que observa el satélite moverse a velocidad v y que mide una separación de t_r entre los dos tic-tac.)

Por ejemplo, si el satélite se está moviendo a una (inusualmente alta) velocidad v=0,8c entonces se tiene que

    \[ t_r=1,6t_s \]

por lo que cuando en el satélite ha transcurrido un tiempo t_s=1 entre la emisión de dos señales consecutivas, el observador en la superficie terrestre registra que estas dos señales llegan con una separación de t_r=1,6 segundos.

La dilatación gravitatoria del tiempo

En la lección Relojes en un campo gravitatorio explicamos cómo afecta la posición en un campo al discurrir del tiempo de modo que relojes situados en diferentes alturas miden el tiempo de distintas maneras. En concreto, se tiene la siguiente expresión:

    \[ t_r=(1-\frac{\Phi_s-\Phi_r}{c^2})t_s. \]

De nuevo, hemos adaptado la notación para este problema particular del GPS. Así, t_s representa el tiempo medido por un reloj en el satélite mientas que t_r denota el mismo tiempo entre ambos eventos tal y como los observa el receptor en la superficie terrestre. Finalmente, \Phi_s es el potencial gravitatorio del satélite mientras que \Phi_r es el potencial a nivel de la superficie terrestre donde se encuentra el receptor.

Observemos ahora que \Phi_s > \Phi_r por lo que t_r < t_s. De esta forma, el efecto debido a la gravedad terrestre tiende a contrarrestar el efecto de la relatividad especial. La cuestión crucial aquí sería estimar cuál de los dos es más fuerte. Lo veremos con detalle en la próxima clase.

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