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Comenzamos este curso sobre Geometría de Riemann. Esencialmente vamos a ampliar/generalizar la geometría de curvas y superficies que conocéis de tercero en dos sentidos:

1. dimensión arbitraria y
2. ausencia de espacio ambiente.

El punto 1 debe estar claro para unos matemáticos como vosotros. Lo realizado para superficies (es decir, para ) nos gustaría abordarlo ahora en general para un número natural arbitrario

En relación al punto 2 estamos ante una cuestión más sutil. ¿Qué significa espacio ambiente? ¿Qué implica su ausencia? Bien, recordemos que en tercero las superficies viven en el espacio euclídeo. Esto nos confiere muchísimas ventajas para trabajar con ellas, a saber:

1. posibilidad de construir rápidamente el plano tangente a la superficie en un punto,
2. capacidad para medir longitudes de vectores y, por ende, de curvas y áreas y, finalmente,
3. construcción de un normal unitario a la superficie a partir del cual surgen todo tipo de curvaturas siendo la más relevante la curvatura de Gauss.

Muy pronto comprobaréis que, incluso abordar la construcción de un plano tangente en un espacio n-dimensional abstracto, supone un desafío serio, un trabajo hercúleo mucho más por la ausencia de ambiente que por considerar arbitraria la dimensión. Para efectuar medidas, i.e. para hacer geometría, necesitaremos fabricar una alternativa que englobe esa primera forma fundamental de tercero que nos permitía calcular longitudes, ángulos y áreas. Dicha alternativa será un tensor métrico, algo que definiremos con mucha tranquilidad pues es el concepto central de la asignatura.

Finalmente, para definir la curvatura deberemos rebuscar en nuestros apuntes de tercero y recordar el famoso theorema egregium de Gauss en el cual se afirma que su curvatura es un concepto intrínseco. Utilizaremos este resultado y nos inspiraremos en él para definir la curvatura en un espacio abstracto de dimensión arbitraria. Sin hacer de spoiler, os digo que será especialmente relevante aprender a derivar campos de vectores, algo trivial en el espacio euclídeo pero no así en un mundo ausente de referencias al ambiente.

Vamos a ello.

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