geometría de Minkowski Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/geometria-de-minkowski/ Geometría § Relatividad § Universo Wed, 19 Feb 2020 09:47:12 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.8.3 https://gravitacion.es/wp-content/uploads/2019/04/cropped-logo_peq-32x32.png geometría de Minkowski Archives | Gravitación https://gravitacion.es/tag/geometria-de-minkowski/ 32 32 La física vista desde la geometría de Minkowski https://gravitacion.es/la-fisica-vista-desde-la-geometria-de-minkowski/ https://gravitacion.es/la-fisica-vista-desde-la-geometria-de-minkowski/#respond Wed, 11 Jan 2017 09:40:22 +0000 https://gravitacion.es/?p=540 Vamos a revisar algunos fenómenos de la relatividad especial a la luz de la geometría de Minkowski. Veremos entonces que no es necesario elaborar complejos argumentos y sofisticados experimentos mentales para demostrar que el espacio y el tiempo son relativos. El futuro objetivo Dado un sistema con coordenadas nos podríamos preguntar, ¿cuál es el futuro…

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]]> Vamos a revisar algunos fenómenos de la relatividad especial a la luz de la geometría de Minkowski. Veremos entonces que no es necesario elaborar complejos argumentos y sofisticados experimentos mentales para demostrar que el espacio y el tiempo son relativos.

El futuro objetivo

Dado un sistema S con coordenadas (x,t) nos podríamos preguntar, ¿cuál es el futuro del evento O=(0,0)? En otras palabras, ¿cuáles son los eventos que ocurren después del evento O? Una respuesta plausible podría ser que un evento E ocurre más tarde que O si t>0. Sin embargo, otro observador S' en configuración estándar con coordenadas (x',t') puede llegar a conclusiones bien distintas para ese mismo evento E. (De hecho, según la situación de E, el observador S' podría decir tanto que está en el futuro, como que está en el pasado. Buscar un ejemplo de esto.)

La cuestión que surge inmediatamente es: ¿existe alguna manera objetiva de definir el futuro de O? ¿Puede hacerse una definición que no dependa de las coordenadas escogidas? La respuesta es afirmativa y se tiene la siguiente definición:

Definición

Dado un evento O, se define el futuro objetivo de dicho evento como el conjunto \cal{F} dado por todos los eventos E tales que el vector E-O es un vector temporal que apunta al futuro.

Observemos que se trata de una buena definición ya que los conceptos involucrados no dependen de las coordenadas escogidas. Geométricamente el futuro de O se corresponde con la parte superior del cono temporal cuyo vértice está en O. El pasado objetivo de O puede definirse de manera análoga.

Causalidad

Un principio lógico-filosófico que debemos aceptar a la hora de hacer ciencia es la asunción de que las causas preceden a los efectos. Si un evento A causa o influye en el evento B, entonces A debe ocurrir antes que B. Como este principio debe ser algo objetivo y válido para todo observador, entonces B debe estar en el futuro objetivo de A. De forma análoga, A debe estar en el pasado objetivo de A. Este hecho inspira la siguiente definición:

Definición

Dado un evento O, se define el futuro causal de dicho evento como el conjunto de todos los eventos que pueden ser influenciados por O. Se define asimismo el pasado causal de O como todos los eventos que pueden influenciar a O.

Notemos que futuro causal y futuro objetivo son el mismo conjunto. Lo mismo sucede con pasado causal y pasado objetivo. De ahora en adelante siempre hablaremos de futuro (y pasado) causal ya que es un término mucho más aceptado.

Pregunta

Supongamos que existiera un objeto que se mueve a mayor velocidad que 1. ¿Qué implicaciones tendría sobre la causalidad?

Simultaneidad

Dado un sistema S con coordenadas (x,t) se tiene la siguiente propiedad:

Proposición

Dado un evento espacial E arbitrario siempre es posible encontrar un observador para el que E y O son simultáneos.

Demostración. Como E es espacial siempre podemos escribir en S-coordenadas el evento E como

    \[ E=(x,t)=(kchu,kshu) \]

para un número real k. Sea ahora S' otro sistema en configuración estándar con velocidad relativa v donde v es precisamente el valor

    \[ v=thu. \]

Entonces se tiene que E y O son S'-simultáneos. (Ejercicio. Más aún, esta demostración también puede hacerse de forma artesanal con pendientes de rectas utilizando las coordenadas (x,t). ¿Os animáis?)

La dilatación del tiempo

Supongamos que S' transporta un reloj y se mueve a velocidad v respecto de S con velocidad v relativa a S. Dicho reloj marca el tiempo propio de S' en el sentido de que es su propio tiempo, el que experimenta dicho observador. La pregunta es: ¿cómo mide el observador S el tiempo propio de S'?

Sea E=(t_0,0) un evento expresado en S'-coordenadas que ocurre, evidentemente, en la línea del universo del observador O'.

La contracción de las longitudes

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]]> https://gravitacion.es/la-fisica-vista-desde-la-geometria-de-minkowski/feed/ 0 La geometría de Minkowski https://gravitacion.es/la-geometria-de-minkowski/ https://gravitacion.es/la-geometria-de-minkowski/#respond Tue, 10 Jan 2017 08:44:47 +0000 https://gravitacion.es/?p=509 En la geometría plana de Euclides los procedimientos básicos para medir longitudes, áreas y ángulos descansan en el producto escalar o interior dado por     A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido de esta…

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]]> En la geometría plana de Euclides los procedimientos básicos para medir longitudes, áreas y ángulos descansan en el producto escalar o interior dado por

    \[ \vec{v}\cdot\vec{w}=v_1w_1+v_2w_2. \]

A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido de esta geometría es que las longitudes y los ángulos no cambian si sometemos el plano a una rotación de ángulo arbitrario \theta. Como consecuencia inmediata, sabemos que dichas rotaciones aplican las circunferencias de la forma x^2+y^2=r^2 sobre sí mismas.

Un último aspecto interesante es que, dados unos ejes y una escala definida sobre ellos, podemos considerar ahora una rotación. Dicha rotación nos proporciona unos nuevos ejes y la escala de éstos se obtiene simplemente utilizando las circunferencias para calibrarlos.

La norma de Minkowski

Esta es la aproximación utilizada por Minkowski en el año 1907 que tanto disgustó a Einstein.

Consideremos ahora una transformación de Lorentz B_v que relaciona dos sistemas de coordenadas S y S'. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Teorema

Las transformaciones de Lorentz preservan las hipérbolas del plano (x,t) de suerte que aplican la hipérbola x^2-t^2=\pm r^2 sobre sí misma.

La (sencilla) demostración de este hecho la tenéis en esta parte manuscrita.

Este resultado nos sugiere lo siguiente en relación a las medidas del plano (x,t): en lugar de trabajar con el producto escalar habitual podemos considerar ahora el que está dado por

    \[ \vec{v}\cdot\vec{w}=v_xw_x-v_tw_t. \]

A partir de dicho producto escalar (lorentziano) se define la norma (al cuadrado) de Minkowski de un vector \vec{v} como

    \[ v_x^2-v_t^2. \]

Diremos que un vector es temporal cuando su norma al cuadrado sea negativa. Diremos también que un vector es espacial si su normal al cuadrado es positiva. Finalmente, diremos que un vector es luminoso (o nulo) si su norma al cuadrado es cero.

Finalmente, se define la norma de Minkoski como

Desde ahora nos pondremos (algo más) rigurosos con el tema matemático. Contemplaremos el plano (x,t) como un plano afín en el que los protagonistas son los puntos. Dados dos puntos (ordenados) E_1 y E_2 podemos considerar el vector que determinan ambos dado por E_2-E_1 y se tiene así la siguiente definición:

Definición

Dados dos eventos E_1 y E_2 en el plano (x,t) se define la separación entre E_1 y E_2 como el vector E_2-E_1 y se define el intervalo entre E_1 y E_2 como la norma de Minkowski del vector E_2-E_1. Más aún, diremos que el intervalo es temporal, espacial o luminoso si la separación es un vector temporal, espacial o luminoso respectivamente.

Ejercicio

Demuestra el anterior resultado utilizando la forma B_v para una transformación de Lorentz en lugar de la forma rotación hiperbólica H_u.

Ángulos hiperbólicos y rotaciones

Vamos a definir en esta sección el ángulo hiperbólico que determinan dos vectores temporales en el mismo cono temporal. El propósito de estas cuentas es sentar las bases para definir el concepto de tiempo propio y para deducir algunas de sus propiedades más importantes.

En primer lugar observamos que, siendo H_u (o B_v) aplicaciones continuas deben llevar conexos a conexos. Más aún, sabemos que las rotaciones hiperbólicas H_u preservan cada uno de los seis conjuntos anteriores que hemos definido. En particular, llevan vectores temporales del cono futuro a vectores temporales del cono futuro. Por comodidad vamos a escribir \cal{F}=\cal{T}_+ y lo llamaremos el futuro de O=(0,0).

Teorema

Para cada número real u, la aplicación H_u lleva \cal{F} en sí misma de forma biyectiva.

La prueba de este resultado ya la tenemos pues H_u es claramente biyectiva con inversa H_{-u} y además preserva los vectores temporales futuro.

Ejercicio

El conjunto \cal{F} es cerrado para la suma y la multiplicación por escalares positivos.

Consideremos ahora dos rayos \rho_1 y \rho_2 que apuntan al futuro. Cada uno de ellos interseca la hipérbola t^2-x^2=1 en un punto. Se define entonces el ángulo hiperbólico de la siguiente forma:

Obsérvese que el ángulo hiperbólico tiene signo por lo que \angle \rho_1 \rho_2 = -\angle \rho_2 \rho_1.

Para terminar con esta sección debemos observar que la analogía entre el ángulo hiperbólico y el ángulo usual de la geometría de Euclides es total. De hecho, el valor de u mide la longitud de la hipérbola y es, en el sentido que conocéis de la geometría de tercero, el parámetro arco de dicha curva si utilizamos como producto escalar el producto de Minkowski. Esto lo demostraremos en breve.

La desigualdad triangular inversa

No nos debe sorprender que muchas de las leyes geométricas que hemos dado por firmes se resquebrajen con esta nueva geometría. Una de las rupturas más notables es la que explicamos en las siguientes notas manuscritas.

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