Differential Geometry and Relativity Theory. An introduction.
Richard L. Faber. Marcel Dekker. 1983. Capítulo 3.

En esta lección vamos a describir el experimento de Michelson-Morley que realizaron en el año 1887 con el objetivo de detectar el movimiento de la Tierra en relación al éter. Tratándose de velocidades muy elevadas la dificultad implicada era enorme por lo que diseñaron un artefacto que llamaron interferómetro y que se basa en el fenómeno de la difracción, un aspecto característico de todas las ondas en general y de las electromagnéticas en particular. Para entender la idea que hay detrás del experimento es conveniente atender al siguiente esquema:

En él vemos, de forma esquemática, cómo funciona el experimento. La luz monocromática proviene de una fuente de luz a la izquierda del dibujo. Ésta se dirige hasta el centro del aparato donde se encuentra un espejo semi-reflector (o semi-transparente, como se prefiera) que desvía la mitad de la luz hacia el espejo y la otra mitad hacia el espejo . Ambos haces de luz rebotan en dichos espejos situados en los extremos de los brazos y regresan al centro donde el espejo semi-reflector los dirige hacia abajo donde está la pantalla y/o telescopio para observarlos.

Como el aparato se está moviendo en relación al éter, éste siente el viento del éter de modo que la velocidad de la luz – que debe ser constante siempre en relación al éter – cambia para el sistema de referencia solidario con el aparato.

Si y son las longitudes de los brazos #1 y #2 del interferómetro de Michelson-Morley y si, inicialmente, el brazo #1 está paralelo a la dirección del viento del éter y el brazo #2 está perpendicular a dicho viento, entonces se puede demostrar que el tiempo empleado por los rayos de luz es

para el brazo #1 mientras que es

para el #2.

Nota: debemos aplicar el desarrollo binomial

ya que y los términos de mayor orden son despreciables en nuestro análisis.

Para entender de dónde obtenemos estos tiempos es de gran ayuda atender a la siguiente analogía fluvial. Consideremos un piragüista que es capaz de remar en aguas tranquilas a una velocidad de metros por segundo. A este piragüista le planteamos una competición en un río cuya corriente tiene una velocidad de metros por segundo respecto de la orilla. La competición consiste en recorrer 1 kilómetro a favor de corriente y regresar a contracorriente hasta el punto de partida.

¿A qué velocidad se desplaza el piragüista en ambos trayectos? Está claro que, a favor de corriente y para un observador situado en la ribera, su velocidad es mientras que, a contracorriente, su velocidad en relación a la orilla del río, es . (Obsérvese que estamos asumiendo aquí pues, en caso contrario y la corriente del río arrastra al piragüista río abajo y le impide completar el circuito.)

Una vez conocida la velocidad podemos deducir el tiempo empleado en ambos viajes. Así en el viaje a favor de corriente tendríamos que el tiempo empleado es

mientras que a contracorriente se tendría

Finalmente, el tiempo total empleado la competición sería la suma de ambos:

Supongamos ahora que el río tiene una anchura de un kilómetro y le planteamos a nuestro piragüista una nueva carrera: ahora debe atravesar el río en perpendicular a la corriente y alcanzar la otra orilla. A continuación, debe regresar al mismo punto de partida. En esta ocasión el esquema sería algo así:

La cuestión ahora es: ¿a qué velocidad debe remar el piragüista para alcanzar la otra orilla exactamente en el punto que tiene enfrente al comenzar? Echamos un vistazo al dibujo y comprendemos que, para remar en perpendicular a la corriente, el módulo de la velocidad debe ser con independencia de si va en un sentido o en otro. Como la distancia total recorrida son 2 kilómetros y la velocidad (el módulo) es constante en ambos casos se tiene entonces que el tiempo empleado en la ida y en la vuelta es

donde hemos sacado factor común en la raíz para poder comparar con los tiempos anteriormente calculados. Así pues, podemos concluir haciendo la diferencia de tiempos que los dos rayos de luz llegan al observador con un desfase dado por

A continuación podemos sacar factor común en esta expresión y, en la expresión resultante, comprendemos que los posibles motivos por los que (es decir, por los que se puede observar una interferencia) pueden ser dos: 1) porque (esto es, porque existe el viento del éter promulgado por Newton-Maxwell) o 2) porque (es decir, porque los brazos no tienen igual longitud).

Notemos además que ambos no son excluyentes y podrían darse de forma simultánea. Evidentemente, nos gustaría discriminar, distinguir, si la interferencia observada se debe a una causa o a otra. ¿Cómo se puede eliminar esta ambigüedad? ¿Cómo podemos distinguir si la interferencia se debe al éter o a la (más que posible) diferencia de longitud entre los brazos del aparato? La solución propuesta por Michelson-Morley consistió en rotar los dos brazos del aparato 90 grados de modo que intercambiaban sus roles. Si ahora denotamos por y los tiempos para y entonces calculamos y se tiene que

La deducción completa de esta fórmula la podéis encontrar en la siguiente página manuscrita aunque es un ejercicio sencillo de hacer:

De esta forma, deducimos que si el patrón de interferencias (el dibujo) en ambas situaciones es idéntico (esto es, si ) es porque y no existe el viento del éter. Esto fue realmente lo que se observó en múltiples situaciones, circunstancias y emplazamientos. (Si se desea consultar la referencia original sobre este experimento podéis acceder a ella pinchando aquí.)

Reacciones al resultado del experimento

Los resultados negativos encontrados en el experimento de Michelson-Morley llevaron a la comunidad científica a un callejón sin salida. Se formularon diferentes propuestas para resolver el embrollo salvando el esquema clásico de la física. Algunas de ellas son las siguientes:

1. Teorías de Emisión

Algunos científicos apuntaron que, quizás, la velocidad de la luz no era fija con respeto al éter y que dependía de la velocidad de la fuente emisora. Evidentemente si esto era así el experimento quedaba explicado. Sin embargo, se encontraba en clara confrontación con la teoría ondulatoria y con hechos experimentales como las medidas efectuadas sobre la luz proveniente de estrellas dobles.

2. Hipótesis de arrastre el éter.

La idea es que la Tierra, en su avance a través del espacio, arrastra una costra de éter de forma similar a la atmósfera. Así pues, existe una exigua capa de éter solidaria con el sistema Tierra. Evidentemente, esto provocaría que el análisis efectuado para el experimento de Michelson-Morley no tuviera validez alguna. Dicha hipótesis fue también rápidamente descartada debido al conocimiento del fenómeno de la aberración estelar. Así, si miramos por un telescopio ocurre que debemos inclinarlo levemente para poder observar una estrella distante. Esta inclinación está dada por el ángulo

siendo la velocidad orbital de la tierra (30 kilómetros por segundo) y la velocidad de la luz. (Se tiene que .) Para entender el fenómeno de la aberración lo más sencillo es pensar en la siguiente situación: está lloviendo y el agua cae de forma vertical a velocidad . Si nos encontramos corriendo a velocidad y queremos que una gota de agua atraviese un cilindro de longitud , entonces debemos inclinar el cilindro en la dirección en la que vamos corriendo. (El ángulo de inclinación no depende de la longitud .)

3. La contracción de Lorentz-Fitzgerald.

Esta hipótesis propone que la longitud de los cuerpos que se mueven en relación al éter a velocidad con longitud se contrae exclusivamente en la dirección del movimiento de suerte que su nueva longitud es

En tal caso se puede demostrar que los dos patrones de interferencia en el aparato de Michelson-Morley coinciden, esto es, que . Sin embargo, esta hipótesis resultaba artificiosa, ad hoc y, sobre todo, no era verificable. Esto es así porque cualquier aparato de medida concebido para comprobarla también estaría afectado por dicha contracción.

¿Cómo se sale de este atolladero en el que la física se había metido casi sin quererlo? Lo veremos en la siguiente lección.

La entrada El experimento de Michelson-Morley aparece primero en Gravitación.

Es conocido que el electromagnetismo de Maxwell – tal y como se entiende en el momento actual – cuando se aplica a cuerpos en movimiento nos conduce a asimetrías que no parecen ser razonables.

Consideremos, por ejemplo, la acción recíproca entre un imán y un conductor. El fenómeno observado depende aquí únicamente del movimiento relativo entre el imán y el conductor. No obstante, la visión del fenómeno clásica distingue con precisión si es el imán o el conductor el que está en movimiento mientras que el otro se encuentra en reposo absoluto.

Así, la descripción clásica nos dice que si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, se genera alrededor del imán un campo eléctrico que mueve las cargas del conductor y provoca una corriente eléctricaEn realidad, aquí se aplica la Ley de Faraday por la cual una variación temporal del flujo del campo B sobre la superficie determinada por el conductor provoca la aparición de una corriente eléctrica en el mismo de una cierta intensidad I. Se trata del conocido fenómeno de inducción electromagnética por el que funcionan los generadores y los micrófonos..

Pero si es el imán el que está en reposo y el conductor en movimiento, no se produce ningún campo eléctrico aunque en el conductor la fuerza magnética provoca una corriente de la misma magnitud e intensidad que en el primer casoEn esta ocasión se aplica la conocida Ley de Lorentz por la que una carga q que se mueve a velocidad v dentro de un campo magnético B es acelerada por una fuerza dada por F=q(v x B)..

Ejemplos de esta clase, junto con los intentos frustrados de descubrir el movimiento de la Tierra con respecto al éter sugieren que los fenómenos del electromagnetismo así como los relativos a la mecánica no poseen propiedades que nos permitan distinguir un estado de reposo absoluto. De hecho, estas situaciones sugieren que las mismas leyes del electromagnetismo, de la óptica y de la mecánica deben ser válidas para todos los sistemas de referencia inerciales.»Albert Einstein
On the electrodynamics of moving bodies
Annalen der Physik, 17, 891 (1905)

En las ecuaciones de Maxwell, tanto el campo eléctrico como el campo magnético están referidos, en principio, a un cualquier sistema de coordenadas inercial, esto es, un sistema en el cual son válidas las leyes de la mecánica de Newton. (Se puede utilizar esto como definición de sistema inercial.) Así podemos expresar

donde son coordenadas de dicho sistema que elegimos cartesianas por simplificarnos la vida al máximo mientras que representa el tiempo absoluto.También podríamos escoger coordenadas esféricas, coordenadas móviles que dependan del tiempo t y, en general, cualquier difeomorfismo del 3-espacio en sí mismo.

El hecho de que las ondas electromagnéticas propuestas por Maxwell se desplacen a velocidad constante respecto del sistema inercial en el que las ecuaciones están expresadas le obligó a escoger, de entre la clase infinita de sistemas inerciales, uno en concreto. ¿Cuál? Pues aquél que en su época se identificaba con el espacio absoluto de Newton. Además, necesita rescatar la vieja idea del éter como medio de propagación de las ondas electromagnéticas y postula la existencia de este medio a lo largo y ancho del espacio.

Así pues, las ecuaciones de Maxwell están referidas a dicho espacio absoluto y de ahí la artificial distinción entre fenómenos que apunta Einstein en su artículo: para la física clásica no es igual si el imán se mueve respecto al espacio o si es el conductor el que lo hace porque en el primer caso el imán siente el viento del éter mientras que, en el segundo, es el conductor el que lo percibe. ¡Incluso aún cuando sus consecuencias sean idénticas!

En este estado de las cosas la observación de Einstein claramente plantea una economía de medios a la hora de describir dos experimentos en apariencia distintos pero con la misma e idéntica consecuencia.

Su propuesta radical que pronto veremos consiste en afirmar que no existe el espacio absoluto. Más aún, cualquier sistema de referencia inercial es igual de bueno para la formulación de todas las leyes físicas y no sólo las leyes de la mecánica. De este forma, extiende el principio de relatividad de Galileo a todos los ámbitos de la física.

Pero no adelantemos acontecimientos y hagamos un breve resumen de lo que estamos aprendiendo:

1. de entre toda la clase de sistemas inerciales, es imposible distinguir uno haciendo experimentos mecánicos, pese a ello Newton postula la existencia de un espacio absoluto, ente ideal, arbitrario e innecesario que se identifica con el sistema solidario al sistema solar;
2. la síntesis de Maxwell del electromagnetismo se revela exitosa porque explica la mayoría de los fenómenos electromagnéticos y predice la existencia de unas ondas que se detectan 20 años más tarde de su formulación teórica;
3. las ecuaciones de Maxwell deben estar referidas a un sistema de referencia inercial y Maxwell escoge, por simplicidad, el espacio absoluto;
4. las ondas electromagnéticas se mueven a velocidad constante respecto de dicho sistema inercial que es el espacio absoluto; por otra parte y hasta la fecha, cualquier fenómeno ondulatorio requería de un medio de propagación, por lo que Maxwell postula la existencia del éter luminífero – luminífero significa que transporta la luz – y que, en realidad es una idea muy antigua ya formulada por Huygens, contemporáneo de Newton y primer defensor de la teoría ondulatoria;
5. en conclusión: la velocidad de las ondas electromagnéticas es constante e invariante respecto del éter con independencia del movimiento de la fuente; esta experiencia era consistente con el conocimiento que se disponía de los otros fenómenos ondulatorios, verbigracia, el sonido.

Observemos que el éter como medio es realmente extraño. De una parte, debe ser muy tenue para no entorpecer el avance de los cuerpos celestes ni quitarles energía de manera apreciable. Por otro, debe ser incompresible para permitir una velocidad de propagación tan alta. Ambas características son claramente contrapuestas, pero necesarias para explicar la existencia del éter y su rol como medio de propagación de la luz y el resto de ondas electromagnéticas.

Hemos llegado a un punto decisivo y es que, por primera vez, la afirmación de Maxwell permitía, desde dentro de la física, decidir si era posible distinguir un sistema inercial privilegiado y diferente del resto.

Recordemos que la elección de Newton de un espacio absoluto como sistema inercial distinguido se debía más a consideraciones estéticas, sociales y religiosas que a un motivo científico. De hecho, con la física de Newton era imposible llegar a tal distinción. Ahora, con la formulación de Maxwell, la hipótesis del espacio absoluto como contenedor estático del éter luminífero iba a ser puesta a prueba.

La entrada En busca del éter luminífero aparece primero en Gravitación.