«There is no better illustration of the unpredictable payback of fundamental science than the story of Albert Einstein and the Global Positioning System. The next time your plane approaches an airport in bad weather, and you just happen to be wondering what good is basic science, think about Einstein and the GPS tracker in the cockpit, guiding you to a safe landing.»

Clifford Will

El GPS es el primero de los dispositivos, con la única excepción de los aceleradores de partículas, en el que los efectos relativistas deben ser tenidos en cuenta para el correcto funcionamiento del mismo. Esto es así por tres motivos:

1. Los satélites GPS se desplazan a una gran velocidad,

2. Existe una diferencia de potencial significativa entre los satélites y el receptor en la superficie, y

3. La rotación de la Tierra también afecta sustancialmente al funcionamiento de los aparatos.

Si bien los efectos cuantitativos son extremadamente pequeños, la precisión del sistema exige ajustar las operaciones hasta más allá del orden de los nanosegundos que es la magnitud en la que trabajan los relojes atómicos incorporados en los satélites y en el sistema global. (En la actualidad, los relojes atómicos de los satélites son precisos hasta el orden .)

Pero antes de continuar vamos a entender cómo funciona un GPS de forma esquemática. Para ello nos colocamos en un mundo uno-dimensional y consideramos los siguientes ingredientes:

– Un satélite que emite señales en las que codifica su posición en el eje y el tiempo de la emisión , y

– Un aparato receptor situado en un lugar por determinar.

El satélite emite entonces una señal de forma periódica y el receptor la recibe en el instante . Si el receptor desea saber su posición en el eje basta resolver la ecuación

donde, salvo , los demás datos son conocidos. Observemos que existe una indeterminación en el signo que puede ser resuelta gracias a la intervención de un segundo satélite.

El problema análogo para dos dimensiones exige el concurso de tres satélites mientras que, para tres dimensiones espaciales, se requieren cuatro satélites como mínimo para determinar con exactitud la posición.

Observemos entonces que la clave para el buen funcionamiento del sistema está en la correcta medición de los tiempos (receptor) y (emisor). Observemos también que errores pequeños en el cálculo de esta diferencia suponen cálculos en la distancia muy apartados de la realidad ya que la constante por la que se multiplica tiene un valor muy alto. Por ejemplo, un error de nanosegundos (del orden ) por cada segundo supondría un desplazamiento dado por

por lo que nos apartaríamos 30 centímetros de nuestra posición. El asunto está en que este efecto indeseado se iría acumulando en el sistema y cuando haya pasado un minuto el error ya sería de 18 metros, algo inadmisible.

En la próxima clase veremos con más detalle con funciona exactamente el sistema, cómo mide el tiempo el receptor y cuál es la magnitud de los errores cometidos. En la presente nos vamos a dedicar a presentar someramente los aspectos teóricos de la Relatividad por los cuales las operaciones del GPS se ven afectadas.

La dilatación del tiempo

En la lección La dilatación del tiempo hemos estudiado el comportamiento de dos relojes en movimiento relativo uno con respecto a otro dentro del marco de la relatividad especial. Así, con la notación específica para la clase en la que estamos trabajando, se tiene que

donde representa el tiempo medido por un observador en reposo en relación al experimento que estamos tratando. (En este caso, el experimento consiste en observar el tiempo transcurrido entre dos tic-tac para un reloj situado en el satélite tal y como lo mide alguien que viaja solidario con el satélite.)

Por otra parte, representa el tiempo medido por un observador que se encuentra en movimiento relativo a velocidad con respecto al sistema en el que se desarrolla el experimento. (En este contexto, un observador en la superficie terrestre que observa el satélite moverse a velocidad y que mide una separación de entre los dos tic-tac.)

Por ejemplo, si el satélite se está moviendo a una (inusualmente alta) velocidad entonces se tiene que

por lo que cuando en el satélite ha transcurrido un tiempo entre la emisión de dos señales consecutivas, el observador en la superficie terrestre registra que estas dos señales llegan con una separación de segundos.

La dilatación gravitatoria del tiempo

En la lección Relojes en un campo gravitatorio explicamos cómo afecta la posición en un campo al discurrir del tiempo de modo que relojes situados en diferentes alturas miden el tiempo de distintas maneras. En concreto, se tiene la siguiente expresión:

De nuevo, hemos adaptado la notación para este problema particular del GPS. Así, representa el tiempo medido por un reloj en el satélite mientas que denota el mismo tiempo entre ambos eventos tal y como los observa el receptor en la superficie terrestre. Finalmente, es el potencial gravitatorio del satélite mientras que es el potencial a nivel de la superficie terrestre donde se encuentra el receptor.

Observemos ahora que por lo que . De esta forma, el efecto debido a la gravedad terrestre tiende a contrarrestar el efecto de la relatividad especial. La cuestión crucial aquí sería estimar cuál de los dos es más fuerte. Lo veremos con detalle en la próxima clase.

La entrada GPS y Relatividad (I) aparece primero en Gravitación.

Capítulo 6. Sección 6.3 de [Har] Gravity. An Introduction to Einstein’s General Relativity. James B. Hartle. 2003 Pearson Education.

Capítulo 7. Sección 7.5 de [Rin] Essential Relativity. Wolfgang Rindler. 1979 Springer-Verlag.

Una de las primeras consecuencias del Principio de Equivalencia (EP) formulado por Einstein es la dilatación gravitatoria del tiempo. Lo que significa esta expresión es lo siguiente: el discurrir del tiempo para dos relojes idénticos situados a diferentes alturas dentro de un campo gravitatorio es, también, distinto.

Para demostrarlo vamos a efectuar un experimento mental. Supongamos que la observadora Alicia (A, alta) está en el morro de un cohete de altura que se encuentra estático en la superficie terrestre y que el observador Bernardo (B, bajo) se encuentra en la cola de dicha nave espacial. A efectos prácticos podemos asumir que el campo gravitatorio es constante. (Esto se puede hacer cuando tiene un valor del orden de 10 metros. Véase un poco más adelante sobre las aproximaciones en esta lección.)

El EP nos garantiza que toda la física que podamos realizar en dicho cohete será la misma que hagamos cuando el cohete se encuentra acelerado respecto de un sistema inercial con aceleración constante . Supongamos que Alicia emite señales de luz separadas por un intervalo de tiempo tal y como las mide un reloj solidario con ella. La cuestión entonces sería: ¿cuál es la separación temporal que observa Bernardo cuando le llegan las señales? (Bernardo mide el tiempo con un reloj idéntico al de Alicia pero solidario con su posición.)

Observemos que, entonces, el EP implica que Bernardo debe recibir las señales en intervalos menores de tiempo, esto es, a mayor frecuencia que cuando fueron emitidas. (Por dicho motivo, a este fenómeno se le conoce también como efecto Doppler gravitatorio.) Esto es sencillo de comprobar intuitivamente ya que Bernardo está acelerando hacia las señales que le vienen: de alguna forma Bernardo se abalanza sobre ellas acortando el tiempo que tienen que viajar por lo que su frecuencia aumenta.

¿Qué ocurre a nivel cuantitativo?

Supongamos por simplicidad que el cohete está acelerando en un sistema inercial a lo largo del eje . La posición de Bernardo en la cola sería

(1)  

donde elegimos el origen de para que coincida con la posición de Bernardo en el instante . En estas condiciones la posición de Alicia en el morro del cohete vendría dada por la expresión

(2)  

Consideremos la emisión de dos pulsos de luz o señales de forma sucesiva por parte de Alicia y la recepción hecha por Bernardo de ambos. Supongamos que el primer pulso se emite en y se recibe en . Supongamos también que el segundo pulso se emite en el instante mientras que se recibe en . La secuencia sería algo así:

Si observamos con atención tenemos cuatro eventos a considerar: emisión #1, recepción #1, emisión #2 y recepción #2. La cronología de los mismos no está fijada por completo ya que bien podría ocurrir que la emisión #2 sucediera antes que la recepción #1. Eso no altera las cuentas que vamos a realizar a continuación. No obstante, sí debemos resaltar que las emisiones deben producirse antes que las recepciones. (Las causas preceden a los efectos.)

La distancia que recorre el pulso #1 en nuestro esquema viene dada por

(3)  

mientras que la recorrida por el pulso #2 es

(4)  

A continuación, hacemos unas cuentas a mano:

El EP afirma que los resultados de este experimento serían los mismos para un cohete situado en la superficie terrestre con gravedad (uniforme) . Recordemos ahora la función potencial que viene dada por la expresión

siendo la constante de gravitación universal, la masa de la Tierra y la distancia al centro de masas de la misma. Por otro lado, el valor de la gravedad terrestre viene dado por

Se sigue entonces que

(5)  

donde (resp. ) es la altura a la que se encuentra Alicia (resp. Bernardo) y (resp. ) es el potencial gravitatorio en (resp. ). En la expresión (5) escribimos para la altura del cohete y tomamos como valor uniforme de la gravedad terrestre. Así nos queda finalmente la siguiente expresión:

(6)  

¿Qué consecuencias extraemos de esta última expresión? En nuestro caso, por lo que . Así la frecuencia observada por Bernardo mayor que la emitida por Alicia. Se produce así un corrimiento al azul gravitacional.

Análogamente en esta discusión podemos intercambiar los roles de Alicia y Bernardo y llegaríamos a la misma ecuación (6) pero con . Entonces las señales emitidas por Alicia las recibiría Bernardo (a mayor altura) desplazadas hacia el rojo.

Ejemplo: el vecino de arriba envejece más rápido

¿Pueden apreciarse estos efectos a escalas normales? Supongamos que vivimos en el entresuelo de un edificio de 10 plantas en la Gran Vía de Murcia. Nuestro vecino vive 30 metros más arriba que nosotros y se encuentra en las mismas condiciones físicas porque entrenamos juntos. Por tanto, nuestros corazones laten al mismo ritmo cuando estamos juntos. Sin embargo, el vecino por vivir en la última planta tiene un pulso más acelerado. ¿Cuánto? La respuesta es

que difiere de la unidad a partir del decimocuarto decimal. Así pues el vecino de arriba se hace viejo más rápido aunque tenga mejores vistas. Con algo hay que consolarse.

Sobre las aproximaciones en esta lección

En esta lección estamos utilizando los siguientes valores:

Teniendo esto presente podemos preguntarnos por la magnitud de, por ejemplo, la fracción . Así se tiene

por lo que estamos hablando del orden de femtosegundos en la fórmula (9) manuscrita. Recordemos aquí que, a día de hoy, los mejores relojes atómicos tienen una precisión que alcanza los nanosegundos, esto es, un orden próximo a los por lo que parece totalmente justificado prescindir de los términos de orden superior en la deducción de la ecuación (10) manuscrita. Estos términos son del orden por lo que pueden ser obviados en la discusión.

Análogamente podemos estudiar la bondad de la aproximación utilizada en (5). En ella admitimos que como valor uniforme de la gravedad terrestre. Veamos que esta simplificación está justificada en la siguiente cuenta manuscrita.

¿Qué ocurre con alturas arbitrarias?

En nuestro análisis hemos utilizado que la altura de la nave era pequeña en comparación con el radio terrestre. (Digamos que era del orden de metros como mucho.) Esta restricción puede ser eliminada y podemos trabajar para cualquier altura y la ecuación (6) sigue siendo válida. Para demostrarlo utilizamos de nuevo unas cuentas manuscritas y un argumento sencillo de ecuaciones en diferencias.

Altura arbitraria. Argumento formal.

El anterior argumento en el que usábamos ecuaciones en diferencias puede mejorarse utilizando cálculo integral. Lo que vamos a hacer en esta sección es encontrar una ecuación diferencial ordinaria (en variables separadas) que relaciona el potencial con la frecuencia . Resolvemos la ecuación diferencial y la solución exacta veremos que aproxima, hasta el primer orden de magnitud, a lo que ya conocemos por la anterior sección. No obstante, ésta es una mucho mejor expresión que utilizaremos posteriormente cuando queramos determinar la constante de integración que aparece al final de la solución de Schwarzschild.

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