«There is no better illustration of the unpredictable payback of fundamental science than the story of Albert Einstein and the Global Positioning System. The next time your plane approaches an airport in bad weather, and you just happen to be wondering what good is basic science, think about Einstein and the GPS tracker in the cockpit, guiding you to a safe landing.»

Clifford Will

El GPS es el primero de los dispositivos, con la única excepción de los aceleradores de partículas, en el que los efectos relativistas deben ser tenidos en cuenta para el correcto funcionamiento del mismo. Esto es así por tres motivos:

1. Los satélites GPS se desplazan a una gran velocidad,

2. Existe una diferencia de potencial significativa entre los satélites y el receptor en la superficie, y

3. La rotación de la Tierra también afecta sustancialmente al funcionamiento de los aparatos.

Si bien los efectos cuantitativos son extremadamente pequeños, la precisión del sistema exige ajustar las operaciones hasta más allá del orden de los nanosegundos que es la magnitud en la que trabajan los relojes atómicos incorporados en los satélites y en el sistema global. (En la actualidad, los relojes atómicos de los satélites son precisos hasta el orden .)

Pero antes de continuar vamos a entender cómo funciona un GPS de forma esquemática. Para ello nos colocamos en un mundo uno-dimensional y consideramos los siguientes ingredientes:

– Un satélite que emite señales en las que codifica su posición en el eje y el tiempo de la emisión , y

– Un aparato receptor situado en un lugar por determinar.

El satélite emite entonces una señal de forma periódica y el receptor la recibe en el instante . Si el receptor desea saber su posición en el eje basta resolver la ecuación

donde, salvo , los demás datos son conocidos. Observemos que existe una indeterminación en el signo que puede ser resuelta gracias a la intervención de un segundo satélite.

El problema análogo para dos dimensiones exige el concurso de tres satélites mientras que, para tres dimensiones espaciales, se requieren cuatro satélites como mínimo para determinar con exactitud la posición.

Observemos entonces que la clave para el buen funcionamiento del sistema está en la correcta medición de los tiempos (receptor) y (emisor). Observemos también que errores pequeños en el cálculo de esta diferencia suponen cálculos en la distancia muy apartados de la realidad ya que la constante por la que se multiplica tiene un valor muy alto. Por ejemplo, un error de nanosegundos (del orden ) por cada segundo supondría un desplazamiento dado por

por lo que nos apartaríamos 30 centímetros de nuestra posición. El asunto está en que este efecto indeseado se iría acumulando en el sistema y cuando haya pasado un minuto el error ya sería de 18 metros, algo inadmisible.

En la próxima clase veremos con más detalle con funciona exactamente el sistema, cómo mide el tiempo el receptor y cuál es la magnitud de los errores cometidos. En la presente nos vamos a dedicar a presentar someramente los aspectos teóricos de la Relatividad por los cuales las operaciones del GPS se ven afectadas.

La dilatación del tiempo

En la lección La dilatación del tiempo hemos estudiado el comportamiento de dos relojes en movimiento relativo uno con respecto a otro dentro del marco de la relatividad especial. Así, con la notación específica para la clase en la que estamos trabajando, se tiene que

donde representa el tiempo medido por un observador en reposo en relación al experimento que estamos tratando. (En este caso, el experimento consiste en observar el tiempo transcurrido entre dos tic-tac para un reloj situado en el satélite tal y como lo mide alguien que viaja solidario con el satélite.)

Por otra parte, representa el tiempo medido por un observador que se encuentra en movimiento relativo a velocidad con respecto al sistema en el que se desarrolla el experimento. (En este contexto, un observador en la superficie terrestre que observa el satélite moverse a velocidad y que mide una separación de entre los dos tic-tac.)

Por ejemplo, si el satélite se está moviendo a una (inusualmente alta) velocidad entonces se tiene que

por lo que cuando en el satélite ha transcurrido un tiempo entre la emisión de dos señales consecutivas, el observador en la superficie terrestre registra que estas dos señales llegan con una separación de segundos.

La dilatación gravitatoria del tiempo

En la lección Relojes en un campo gravitatorio explicamos cómo afecta la posición en un campo al discurrir del tiempo de modo que relojes situados en diferentes alturas miden el tiempo de distintas maneras. En concreto, se tiene la siguiente expresión:

De nuevo, hemos adaptado la notación para este problema particular del GPS. Así, representa el tiempo medido por un reloj en el satélite mientas que denota el mismo tiempo entre ambos eventos tal y como los observa el receptor en la superficie terrestre. Finalmente, es el potencial gravitatorio del satélite mientras que es el potencial a nivel de la superficie terrestre donde se encuentra el receptor.

Observemos ahora que por lo que . De esta forma, el efecto debido a la gravedad terrestre tiende a contrarrestar el efecto de la relatividad especial. La cuestión crucial aquí sería estimar cuál de los dos es más fuerte. Lo veremos con detalle en la próxima clase.

La entrada GPS y Relatividad (I) aparece primero en Gravitación.

Este fenómeno se conoce habitualmente como dilatación del tiempo. (No soy muy partidario de nombrar este efecto de esta manera concreta pues puede inducir a confusión.) En pocas palabras se podría resumir así: el tiempo más corto entre dos eventosLos eventos deben estar conectados causalmente: ya veremos esto lo que significa más adelante. es el que mide un reloj que se encuentre precisamente en la localización de ambos eventos con la condición de que se desplace a velocidad constante.

Pero vayamos por partes.Esto se traduce también en una precisión del orden xxxxxx por segundo transcurrido. Basta para ello tener en cuenta que 1 día son 86.400 segundos. La primera cuestión en la que debemos poner luz es precisamente cómo medimos el tiempo. Para ello utilizamos un reloj. Lo esencial en esta discusión es que tenemos que utilizar los mismos relojes siempre: algún fenómeno natural periódico por ejemplo. Para hacer ciencia lo más recomendable es contar con relojes atómicos que son precisos hasta el orden de los nanosegundos por día transcurrido.Esto se traduce también en una precisión del orden por segundo transcurrido. Basta para ello tener en cuenta que 1 día son 86.400 segundos.

En la época de Einstein los relojes atómicos eran una quimera. No obstante, él mismo ideó un reloj de luz que viene a ser un aparato súper preciso en el cual el tic-tac lo marca cada uno de los rebotes de un rayo de luz entre dos espejos paralelos.

Si llamamos al tiempo empleado por el rayo de luz desde que es emitido hasta que regresa al espejo #1 entonces se tiene que

(1)  

Supongamos ahora que observamos el mismo reloj de luz moviéndose a velocidad respecto de nosotros. El aspecto de este mismo experimento sería el que vemos en este dibujo:

La distancia recorrida por el rayo de luz entre los eventos A y C está dada por las dos hipotenusas de los dos triángulos (idénticos) rectángulos del dibujo. Observemos entonces que

(2)  

siendo el tiempo que nosotros observamos (medimos) desde nuestro sistema de referencia entre los eventos A y C. Notemos que aquí ya estamos aplicando el postulado P2 de la relatividad especial en virtud del cual la velocidad de la luz es un invariante. Si ahora igualamos la velocidad de la luz en la ecuación (1) con la misma velocidad de la luz en (2) obtenemos que

(3)  

Se llega así a la siguiente conclusión: el tiempo transcurrido para alguien que observa un reloj en movimiento es mayor que el tiempo propio que marca dicho reloj y que en este ejemplo está dado por .

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