La entrada Tiempo propio aparece primero en Gravitación.

1. Cada cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento uniforme a lo largo de una línea recta a menos que una fuerza actúe sobre el mismo.

2. El cambio de velocidad (aceleración) es proporcional a la fuerza resultante aplicada sobre el cuerpo.

3. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste efectúa la misma fuerza en sentido contrario sobre el primero.

La primera ley de Newton ya era conocida por Galileo y se conoce como la ley de la inercia. La ley nos dice que cada cuerpo tiene inercia siendo ésta la resistencia que presenta dicho cuerpo a cambiar su velocidad o estado de movimiento natural.

Como un cuerpo tiene inercia es razonable preguntarnos, ¿cuánta tiene? ¿Es la misma para todos? Los que hemos jugado al fútbol ya sabemos que no (Aplicable también a los que hacen balonmano, baloncesto y cualquier deporte de contacto.)

La respuesta precisa nos la da el concepto de masa inercial. Este valor es precisamente la constante de proporcionalidad de la segunda ley. Así pues, si hacemos actuar la misma fuerza sobre dos cuerpos y uno de ellos acelera el doble, eso significa que tiene la mitad de masa que el otro.

La segunda ley también puede enunciarse en términos del momento lineal. Recordemos que el momento de un cuerpo de masa que se mueve a velocidad viene dado por . (Usaremos negritas en minúscula para vectores del 3-espacio euclídeo clásico.) Entonces la segunda ley, asumiendo que es constante, puede expresarse en los siguientes términos:

Por otra parte, la tercera ley nos permite deducir uno de los principios fundamentales de la mecánica: el momento total de un sistema siempre se conserva. (Principio de conservación del momento lineal.)

La prueba de esta afirmación es bien sencilla: para simplificar consideremos un sistema con dos masas dadas por y . Sea la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el y sea la fuerza que ejerce sobre . La tercera ley nos garantiza que

Ahora bien, como

entonces resulta finalmente que

lo que implica que la suma total del momento es constante y se conserva.

Masa relativista

No sólo conceptos como espacio y tiempo resultan ser relativos en la teoría de Einstein. Otro tanto ocurre con la masa inercial de un objeto. Vamos a demostrar que ésta aumenta conforme el objeto adquiere velocidad hasta el punto de que imposibilita que dicho objeto alcance la velocidad de la luz.

Para ello comenzamos con un ejemplo que trata sobre una colisión perfectamente inelástica de dos masas. (Una colisión perfectamente inelástica es aquella en la que los dos cuerpos quedan unidos después del choque y no hay pérdidas de energía por deformación.)

Momento lineal

Acabamos de ver que la relatividad especial es incompatible con uno de los principios más verificados de la física clásica que es la ley de conservación del momento lineal. Por tanto, debemos revisar bien la relatividad especial bien la definición de momento lineal. Lo hacemos en estas notas manuscritas.

Observación: en las notas manuscritas utilizaremos en lugar de como es habitual. Nada cambia al respecto.

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El futuro objetivo

Dado un sistema con coordenadas nos podríamos preguntar, ¿cuál es el futuro del evento ? En otras palabras, ¿cuáles son los eventos que ocurren después del evento ? Una respuesta plausible podría ser que un evento ocurre más tarde que si . Sin embargo, otro observador en configuración estándar con coordenadas puede llegar a conclusiones bien distintas para ese mismo evento . (De hecho, según la situación de , el observador podría decir tanto que está en el futuro, como que está en el pasado. Buscar un ejemplo de esto.)

La cuestión que surge inmediatamente es: ¿existe alguna manera objetiva de definir el futuro de ? ¿Puede hacerse una definición que no dependa de las coordenadas escogidas? La respuesta es afirmativa y se tiene la siguiente definición:

Observemos que se trata de una buena definición ya que los conceptos involucrados no dependen de las coordenadas escogidas. Geométricamente el futuro de se corresponde con la parte superior del cono temporal cuyo vértice está en . El pasado objetivo de puede definirse de manera análoga.

Causalidad

Un principio lógico-filosófico que debemos aceptar a la hora de hacer ciencia es la asunción de que las causas preceden a los efectos. Si un evento causa o influye en el evento , entonces debe ocurrir antes que . Como este principio debe ser algo objetivo y válido para todo observador, entonces debe estar en el futuro objetivo de . De forma análoga, debe estar en el pasado objetivo de . Este hecho inspira la siguiente definición:

Notemos que futuro causal y futuro objetivo son el mismo conjunto. Lo mismo sucede con pasado causal y pasado objetivo. De ahora en adelante siempre hablaremos de futuro (y pasado) causal ya que es un término mucho más aceptado.

Simultaneidad

Dado un sistema con coordenadas se tiene la siguiente propiedad:

Demostración. Como es espacial siempre podemos escribir en -coordenadas el evento como

para un número real . Sea ahora otro sistema en configuración estándar con velocidad relativa donde es precisamente el valor

Entonces se tiene que y son -simultáneos. (Ejercicio. Más aún, esta demostración también puede hacerse de forma artesanal con pendientes de rectas utilizando las coordenadas . ¿Os animáis?)

La dilatación del tiempo

Supongamos que transporta un reloj y se mueve a velocidad respecto de con velocidad relativa a . Dicho reloj marca el tiempo propio de en el sentido de que es su propio tiempo, el que experimenta dicho observador. La pregunta es: ¿cómo mide el observador el tiempo propio de ?

Sea un evento expresado en -coordenadas que ocurre, evidentemente, en la línea del universo del observador .

La contracción de las longitudes

La entrada La física vista desde la geometría de Minkowski aparece primero en Gravitación.

A partir de dicho producto se define la longitud o norma de un vector, así como el ángulo que determinan dos de ellos. Otro aspecto bien conocido de esta geometría es que las longitudes y los ángulos no cambian si sometemos el plano a una rotación de ángulo arbitrario . Como consecuencia inmediata, sabemos que dichas rotaciones aplican las circunferencias de la forma sobre sí mismas.

Un último aspecto interesante es que, dados unos ejes y una escala definida sobre ellos, podemos considerar ahora una rotación. Dicha rotación nos proporciona unos nuevos ejes y la escala de éstos se obtiene simplemente utilizando las circunferencias para calibrarlos.

La norma de Minkowski

Esta es la aproximación utilizada por Minkowski en el año 1907 que tanto disgustó a Einstein.

Consideremos ahora una transformación de Lorentz que relaciona dos sistemas de coordenadas y . Se tiene entonces el siguiente resultado.

La (sencilla) demostración de este hecho la tenéis en esta parte manuscrita.

Este resultado nos sugiere lo siguiente en relación a las medidas del plano : en lugar de trabajar con el producto escalar habitual podemos considerar ahora el que está dado por

A partir de dicho producto escalar (lorentziano) se define la norma (al cuadrado) de Minkowski de un vector como

Diremos que un vector es temporal cuando su norma al cuadrado sea negativa. Diremos también que un vector es espacial si su normal al cuadrado es positiva. Finalmente, diremos que un vector es luminoso (o nulo) si su norma al cuadrado es cero.

Finalmente, se define la norma de Minkoski como

Desde ahora nos pondremos (algo más) rigurosos con el tema matemático. Contemplaremos el plano como un plano afín en el que los protagonistas son los puntos. Dados dos puntos (ordenados) y podemos considerar el vector que determinan ambos dado por y se tiene así la siguiente definición:

Ángulos hiperbólicos y rotaciones

Vamos a definir en esta sección el ángulo hiperbólico que determinan dos vectores temporales en el mismo cono temporal. El propósito de estas cuentas es sentar las bases para definir el concepto de tiempo propio y para deducir algunas de sus propiedades más importantes.

En primer lugar observamos que, siendo (o ) aplicaciones continuas deben llevar conexos a conexos. Más aún, sabemos que las rotaciones hiperbólicas preservan cada uno de los seis conjuntos anteriores que hemos definido. En particular, llevan vectores temporales del cono futuro a vectores temporales del cono futuro. Por comodidad vamos a escribir y lo llamaremos el futuro de .

La prueba de este resultado ya la tenemos pues es claramente biyectiva con inversa y además preserva los vectores temporales futuro.

Consideremos ahora dos rayos y que apuntan al futuro. Cada uno de ellos interseca la hipérbola en un punto. Se define entonces el ángulo hiperbólico de la siguiente forma:

Obsérvese que el ángulo hiperbólico tiene signo por lo que .

Para terminar con esta sección debemos observar que la analogía entre el ángulo hiperbólico y el ángulo usual de la geometría de Euclides es total. De hecho, el valor de mide la longitud de la hipérbola y es, en el sentido que conocéis de la geometría de tercero, el parámetro arco de dicha curva si utilizamos como producto escalar el producto de Minkowski. Esto lo demostraremos en breve.

La desigualdad triangular inversa

No nos debe sorprender que muchas de las leyes geométricas que hemos dado por firmes se resquebrajen con esta nueva geometría. Una de las rupturas más notables es la que explicamos en las siguientes notas manuscritas.

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Las transformaciones son invertibles

Como buena transformación de coordenadas se trata de una aplicación biyectiva cuya inversa se expresa en los siguientes términos:

Así pues, la transformación inversa consiste únicamente en cambiar el signo de la velocidad relativa .

A bajas velocidades son las de Galileo

Un requisito imprescindible para las transformaciones de Lorentz es que se reduzcan a las de Galileo cuando la velocidad es pequeña. Para demostrarlo es muy útil considerar dichas transformaciones en unidades convencionales. En tal caso se tiene lo siguiente:

Fe de errores: en la cuenta manuscrita donde pone eliminamos el sufijo quiere decir eliminamos el subíndice

Regla de adición de velocidades relativista

Hace poco comprobamos como las transformaciones de Galileo eran incompatibles claramente con el segundo postulado argumentando que la ley de adición de velocidades clásica presentaba problemas cuando evaluábamos la velocidad de un rayo de luz en dos sistemas.

La cuestión es: ¿cómo se comporta la velocidad que medimos de un objeto en relación a un sistema y otro? Para ello hacemos la siguiente cuenta.

Interpretación geométrica de las transformaciones de Lorentz

Si bien estudiaremos las transformaciones con bastante detalle en la próxima lección cuando hablemos del intervalo espacio-temporal ya podemos anticipar algunas de las características más importantes de estas aplicaciones. Para ello trabajamos primero con las transformaciones de Galileo.

A continuación vamos a estudiar las transformaciones de Lorentz desde un punto de vista algebraico y también geométrico.

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Unidades geométricas

El objetivo de emplear unidades geométricas es doble. De un lado, se trata de que en los diagramas espacio-tiempo las unidades que miden el espacio y el tiempo estén suficientemente compensadas como para que una magnitud tan grande como la velocidad de la luz — cuando se expresa en unidades convencionales — sea mucho más manejable.

De otro, buscamos que en la representación 4-dimensional podamos hacer geometría, hacer medidas de longitudes, áreas y volúmenes. Para ello es imprescindible que en todos los ejes coordenados tengamos las mismas unidades.

En realidad estamos muy acostumbrados a utilizar unidades geométricas. Lo hacemos desde hace ya mucho cuando en astronomía clásica se introdujo el concepto de año-luz: el espacio que recorre la luz en un año. De esta forma, medimos el espacio en años.

Si en lugar de traducir el espacio a unidades de tiempo nos planteamos pasar el tiempo a unidades de espacio obtenemos lo que sería un metro de tiempo: es el tiempo que emplea la luz en recorrer un metro. Así pues se tiene la siguiente fórmula

de modo que 1 metro de tiempo es un valor muy pequeño de segundos, en concreto: 1 metro de tiempo es segundos donde se expresa en metros/segundo con el conocido valor de .

Con esta forma de proceder tenemos que:

1. los metros siguen midiéndose en metros,

2. los segundos ahora se miden en metros de acuerdo a la anterior expresión, y

3. la velocidad en unidades geométricas se relaciona con la velocidad clásica en los siguientes términos

de suerte que la velocidad de la luz es unitaria (salvo el signo). A partir de ahora, y salvo que se indique lo contrario, trabajaremos siempre con unidades geométricas.

Propiedades de los sistemas inerciales

Partimos de dos sistemas y que son inerciales con coordenadas y . Un sencillo ejercicio demuestra que el movimiento relativo entre ambos tiene velocidad constante. A continuación vamos a definir dos propiedades que satisfacen los sistemas inerciales:

Dado cualquier sistema de referencia inercial con coordenadas , ¿qué podemos decir de en relación a estas dos propiedades? Se tienen los siguientes hechos:

1. Homogeneidad temporal. Todos los instantes de tiempo son indistinguibles y equivalentes para la física.

2. Homogeneidad espacial. Todos los lugares del espacio son indistinguibles y equivalentes para la física pues el espacio es euclídeo. (Hay un razón más profunda para esto: tiene curvatura seccional constante.)

3. Isotropía espacial. Todas las direcciones espaciales son igual de buenas e indistinguibles para la física. (Aquí estamos afirmando que nuestro espacio se curva por igual en todas las direcciones. En el caso de un sistema inercial la curvatura es cero en todas las direcciones.)

4. NO isotropía temporal. En relación a la dimensión temporal los dos (únicos) sentidos posibles son el futuro y el pasado. Evidentemente, ambos son distinguibles desde el punto de vista físico. Hay muchos procesos físicos que nos indican hacia dónde apunta la flecha del tiempo. El más evidente de todos es el aumento de la entropía. (¿Conoces alguno más?)

Utilizando la homogeneidad y la isotropía espacial es posible elegir coordenadas cartesianas en ambos sistemas y para que los ejes y sean coincidentes en todo instante de tiempo y apunten además en la dirección y el sentido de la velocidad relativa que relaciona a ambos sistemas. Utilizando ahora la homogeneidad temporal podemos elegir exactamente cuando los orígenes de ambos sistemas sean coincidentes. Finalmente, utilizando de nuevo la isotropía espacial podemos rotar el plano hasta hacer coincidentes los ejes y con los ejes y . (Coincidentes tanto en dirección como en sentido. Aquí es necesario asumir que las bases de cada uno de los sistemas tienen la misma orientación.)

Lo que resulta de hacer estas suposiciones está bien dibujado en el siguiente esquema:

Esta configuración tan apañada se suele llamar configuración estándar y nos sirve para eliminar ruido y cuentas innecesarias. Ya en la época de Galileo se sabía que la mecánica para ambos sistemas se relaciona mediante las ecuaciones

Estas transformaciones de Galileo funcionan genial para la mecánica clásica de modo que las leyes de Newton son invariantes frente a este cambio de coordenadas. De estas transformaciones se deduce rápidamente la ley de adición clásica de velocidades. Así, si denota una partícula moviéndose por el eje en -coordenadas, sus coordenadas correspondientes en vienen dadas por de suerte que la relación entre las velocidades está dada por

Las transformaciones de Lorentz

Observemos que los postulados de Einstein están en clara confrontación con estas transformaciones[mfn]Concretamente, el que está en conflicto es el segundo postulado.[/mfn]. Si representa un rayo de luz entonces ambos sistemas deberían siempre medir la velocidad para por lo que obtendríamos . En consecuencia, debemos encontrar unas nuevas transformaciones para relacionar dos sistemas de referencia inerciales que sean compatibles con los postulados de Einstein.

A grandes rasgos necesitamos una transformación de la forma

que sea compatible con los postulados y que relacione ambos sistemas. Evidentemente, existen infinitas posibilidades para elegir esta transformación así que vamos a acotar el campo de búsqueda imponiendo las restricciones físicas de la teoría. Por otra parte, debemos recordar que esto no es una deducción matemática sino que es una búsqueda cuya validez depende del resultado final no del proceso seguido. (La física es resultadista como Mourinho.)

En primer lugar supondremos que ambos sistemas se encuentran en configuración estándar. Esto se asumible ya que no hemos modificado nuestras hipótesis sobre las características de los sistemas de referencia inerciales.

De esta forma reducimos así el problema de buscar 4 funciones al desafío de encontrar 20 números reales donde cuatro de ellos se corresponden con las constantes independientes de la transformación afín. Podemos asumir que estos cuatro números son cero ajustando el origen de nuestros sistemas, algo totalmente legítimo usando la homogeneidad del espacio y el tiempo.

Deducción de las transformaciones de Lorentz

A continuación presentamos en formato manuscrito la deducción de las transformaciones de Lorentz. Recordemos que se trata de una cuenta física y no matemática en el sentido de que las cosas valen cuando explican correctamente cómo funciona la realidad. Existe en la literatura una gran cantidad de modos y formas para calcular estas transformaciones pero a nosotros nos gusta especialmente la que mostramos a continuación. La referencia utilizada es:

World fastest derivation of the Lorentz transformations.
Alan Macdonald. Am.J.Phys. 49, 483 (1981)

En concreto, estamos utilizando una versión mejorada de este último artículo proporcionada por el propio Macdonald en su página web. Puedes consultar aquí el PDF de dicha mejora.

De esta forma, consideremos y dos sistemas de referencia inerciales en configuración estándar. Por todo lo comentado en las anteriores secciones podemos reducir el estudio a dos dimensiones Para encontrar las transformaciones únicamente asumimos las siguientes hipótesis:

Observemos que H2 hace referencia a un hecho que ya hemos estudiado en la dilatación del tiempo de modo que nosotros conocemos de modo explícito la función aunque nos podemos permitir el lujo de mantenerla oculta porque vamos sobradísimos.

De hecho, obtendremos una expresión explícita para dentro del marco de esta deducción. Observemos también que sólo depende del módulo de la velocidad relativa entre los sistemas. (Más exactamente, del valor absoluto ya que estamos en 1D.)

En primer lugar se tiene que la línea del universo de está dada por la ecuación . Llamaremos a dicha recta. Observemos que esto ocurre, si y sólo si, ya que el sistema está en configuración estándar en relación a . Consideremos el siguiente experimento: el observador emite un pulso de luz en , éste rebota en un espejo situado en la posición y regresa al observador en . Podemos ilustrarlo con el siguiente diagrama:

La condición H2 puede expresarse en los siguientes términos: A lo largo de la recta se cumple que:

(1)  

donde en la ultima igualdad estamos usando que al estar en la recta . Análogamente se tiene:

(2)  

donde de nuevo usamos que al estar en la recta . A continuación observemos que debe ser constante tanto en como en ya que la pendiente de la recta que une dichos puntos es -1. Lo mismo podemos afirmar para la cantidad .

Conclusión: la ecuación (1) es válida tanto en (obvio) como en .

Aplicamos el mismo argumento ahora para el rayo de luz que, partiendo de , alcanza el evento . Como ahora la pendiente de es 1, la ecuación (2) es válida tanto en como en .

Conclusión: las ecuaciones (1) y (2) son válidas en que es un lugar arbitrario del espacio-tiempo. Sumando ambas:

De suerte que nos queda

(3)  

Si en lugar de sumar hacemos la diferencia entre (1) y (2) llegamos a

(4)  

¿Cómo terminamos?

Final 1

La hipótesis hace referencia a los tiempos que mide respecto de un reloj solidario con que marca el tiempo . Recordemos que esto es simplemente la fórmula que apareció en el reloj de luz para la dilatación del tiempo donde en la fórmula

Así se llega a que

que es lo que se conoce como el factor de Lorentz. (Recordemos que estamos trabajando en unidades geométricas.) Las transformaciones quedan, en definitiva, en los siguientes términos:

Final 2

Si escribimos en (4) entonces se tiene que describe el movimiento del origen de en términos del observador . Así, tiene velocidad respecto de . Intercambiamos los roles de y y la ecuación (1) quedaría así:

(5)  

donde hemos utilizado que por la hipótesis H1. Ponemos ahora (5) en (1) y sale

y se obtiene finalmente

En cualquier caso, para los dos finales, se lleva a la expresión de las transformaciones de Lorentz que escribimos tomando la inversa:

En la próxima lección exprimiremos estas transformaciones y veremos muchas de sus consecuencias.

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Una primera pregunta que nos debemos plantear es: ¿cómo medimos longitudes?

Observemos que en reposo es bien sencillo: observamos dónde están los extremos y restamos las medidas espaciales usando Pitágoras si estamos utilizando coordenadas cartesianas.

¿Y cómo efectuamos la medición cuando el objeto está en movimiento? Debemos observar entonces dónde están los extremos y, en el mismo instante de tiempo, anotar la ubicación espacial para luego aplicar Pitágoras. Ahora bien, ya hemos visto que la simultaneidad es relativa por lo que pueden aparecer problemas.

Un experimento ferroviario

Consideremos un tren que viaja a lo largo de una vía rectilínea con velocidad constante . El sistema del tren lo llamaremos mientras que al sistema solidario con la vía o con la estación lo llamaremos . Supongamos que el tren pasa por un túnel y consideremos los siguientes eventos:

Evento A: la cola del tren entra en el túnel

Evento B: el morro del tren sale del túnel

Hipótesis de trabajo: Para el sistema tren los sucesos y son simultáneos. De esta forma, según el observador se cumple que la longitud del tren coincide con la longitud del túnel. (Para la longitud del tren no presenta problemas en su medición ya que está solidario con el tren. Cuando mide el túnel, simplemente debe ser cauteloso y registrar las medidas espaciales de forma simultánea que es precisamente lo que hace.)

La cuestión ahora sería: ¿Qué observa el sistema en relación a los eventos y ? Notemos que este experimento es perfectamente idéntico al que consideramos en su momento cuando hablamos de la relatividad de la simultaneidad. En dicha lección concluimos que el evento sucedía antes que el evento para un observador fuera del vagón. De este modo, y aplicando la misma lógica, el observador solidario con la vía y el túnel anota que el suceso ocurre antes que el suceso .

En otras palabras: para la cola del tren entra en el túnel antes de que el morro del tren salga del túnel. Es decir, el observador registra que el tren es más corto que el túnel. (De nuevo, remarquemos que el observador no tiene problemas para medir la longitud del túnel ya que se encuentra solidario con el mismo. Para calcular la longitud del tren debe estudiar las posiciones de los extremos en el mismo tiempo . Si lo hace exactamente en el para el que se produce el suceso resulta que el morro del tren sigue dentro del túnel según su hiperplano de simultaneidad por lo que el tren mide menos que el túnel según sus registros.)

¿Qué es la realidad?

Es posible que nos resistamos a aceptar este tipo de experimentos ya que sus resultados entran en conflicto con lo que es nuestra intuición del día a día. Sin embargo, un examen minucioso nos llevará a concluir que no existe ninguna contradicción y que el esquema es completamente consistente. La cuestión ahora es: ¿qué está pasando realmente?

Para aclararnos lo más sencillo es comprar la longitud del tren y del túnel cuando ambos se encuentran en reposo. Si lo hiciéramos y midiéramos los extremos de ambos objetos obtendríamos que la longitud del tren es menor que la longitud del túnel. (A esta longitud se le llama longitud en reposo o longitud propia para remarcar que la medimos solidariamente con el objeto en cuestión.)

Si se encuentran en movimiento relativo tal y como hemos descrito anteriormente tenemos dos conclusiones compatibles:

1) según el sistema tren es el túnel el que se está moviendo y su longitud (la del túnel) se contrae hasta igualar a la del tren (ojo: porque la velocidad y las longitudes cuadran para que esto sea así; lo esencial es que el túnel se contrae y lo accesorio es que las longitudes coinciden); y

2) según el sistema estación es el tren el que se está moviendo y su longitud (la del tren) se contrae por lo que la longitud del tren es menor que la longitud del túnel. De hecho, es más pequeña que cuando comparamos ambas longitudes en reposo.

En resumidas cuentas: las medidas espaciales también son relativas y dependen del estado físico del sistema que efectúa dichas medidas. La longitud de un objeto en movimiento se contrae por lo que la máxima medida espacial se obtiene cuando el objeto está en reposo o solidario con respecto al sistema que registra las medidas. (Es lo que llamamos longitud propia en clara analogía con el tiempo propio que también tiene esta propiedad: es la mínima medida temporal entre dos eventos cuando ambos sucesos se registran en la misma posición espacial de un sistema. Cualquier otro sistema medirá una mayor duración.)

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Este fenómeno se conoce habitualmente como dilatación del tiempo. (No soy muy partidario de nombrar este efecto de esta manera concreta pues puede inducir a confusión.) En pocas palabras se podría resumir así: el tiempo más corto entre dos eventosLos eventos deben estar conectados causalmente: ya veremos esto lo que significa más adelante. es el que mide un reloj que se encuentre precisamente en la localización de ambos eventos con la condición de que se desplace a velocidad constante.

Pero vayamos por partes.Esto se traduce también en una precisión del orden xxxxxx por segundo transcurrido. Basta para ello tener en cuenta que 1 día son 86.400 segundos. La primera cuestión en la que debemos poner luz es precisamente cómo medimos el tiempo. Para ello utilizamos un reloj. Lo esencial en esta discusión es que tenemos que utilizar los mismos relojes siempre: algún fenómeno natural periódico por ejemplo. Para hacer ciencia lo más recomendable es contar con relojes atómicos que son precisos hasta el orden de los nanosegundos por día transcurrido.Esto se traduce también en una precisión del orden por segundo transcurrido. Basta para ello tener en cuenta que 1 día son 86.400 segundos.

En la época de Einstein los relojes atómicos eran una quimera. No obstante, él mismo ideó un reloj de luz que viene a ser un aparato súper preciso en el cual el tic-tac lo marca cada uno de los rebotes de un rayo de luz entre dos espejos paralelos.

Si llamamos al tiempo empleado por el rayo de luz desde que es emitido hasta que regresa al espejo #1 entonces se tiene que

(1)  

Supongamos ahora que observamos el mismo reloj de luz moviéndose a velocidad respecto de nosotros. El aspecto de este mismo experimento sería el que vemos en este dibujo:

La distancia recorrida por el rayo de luz entre los eventos A y C está dada por las dos hipotenusas de los dos triángulos (idénticos) rectángulos del dibujo. Observemos entonces que

(2)  

siendo el tiempo que nosotros observamos (medimos) desde nuestro sistema de referencia entre los eventos A y C. Notemos que aquí ya estamos aplicando el postulado P2 de la relatividad especial en virtud del cual la velocidad de la luz es un invariante. Si ahora igualamos la velocidad de la luz en la ecuación (1) con la misma velocidad de la luz en (2) obtenemos que

(3)  

Se llega así a la siguiente conclusión: el tiempo transcurrido para alguien que observa un reloj en movimiento es mayor que el tiempo propio que marca dicho reloj y que en este ejemplo está dado por .

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Vamos a explicar esta situación realizando el siguiente experimento. Imaginamos un vagón de tren de longitud (el resto de dimensiones son irrelevantes) que se desplaza a velocidad respecto de una estación de tren. (El signo positivo simplemente nos indica que el vagón se desplaza a la derecha.) Vamos a pensar que en cada uno de los extremos del vagón existe una lámpara o una bombilla. También, supongamos que exactamente en el centro del vagón tenemos un dispositivo fotosensible de dos caras de modo que, si recibe al mismo tiempo las dos señales luminosas, el dispositivo explota.

Bien, vamos a denotar por al suceso en el que la bombilla de la izquierda emite su pulso de luz y denotaremos por al suceso en el que la bombilla de la derecha emite su señal. El esquema sería algo así:

En el sistema de referencia del vagón podemos pensar que el origen está en el extremo izquierdo del mismo. Así, si otorgamos coordenadas a los sucesos y tendríamos algo así:

Supongamos ahora que los sucesos son simultáneos para el observador del vagón. Esto significa que . Además, como la célula fotosensible está justamente en el centro del vagón y ambos pulsos viajan a la misma velocidad, es claro que el dispositivo recibe de modo simultáneo ambos pulsos y el vagón explota. (También el observador. Son los daños colaterales de hacer ciencia.)

Observemos que la explosión es un hecho físico, algo real e independiente del observador y/o de las coordenadas que se estén utilizando.

Ahora nos ponemos en la piel de un observador que está a pie de vía, en la estación. Dicho observador asigna diferentes coordenadas a los eventos y aunque únicamente nos interesa investigar qué ocurre con la parte temporal. Llamamos y a los tiempos registrados por el observador de la estación para los eventos y respectivamente. Ahora únicamente puede suceder que: 1) o 2) . Vamos a suponer que 2) es cierto y llegaremos a una contradicción por lo que la única posibilidad restante es 1).

Bien, ¿cuál es la contradicción? Pues es claro que, si ambos sucesos son simultáneos para el sistema de la estación, el rayo que parte de llega antes al centro del vagón que el pulso que sale de . El motivo es bien sencillo: ambos van a la misma velocidad, muy alta pero finita, por lo que el vagón se desplaza levemente hacia la derecha en este lapso breve de tiempo. Así. el rayo que parte de emplea menos tiempo pues recorre menos distancia para llegar al centro del vagón. Justamente lo contrario le ocurre al que sale de : el centro del vagón se va alejando de él y debe recorrer mayor distancia por lo que emplea más tiempo.

Conclusión: los rayos no llegan al mismo tiempo por lo que el dispositivo no explota. ¡Contradicción! Así pues, la única opción que nos queda es 1): ambos sucesos no son simultáneos para el sistema de la estación.

¿Qué está ocurriendo realmente? Ocurre lo siguiente: para que ambos pulsos lleguen de forma simultánea al centro del vagón y la célula explote el suceso es previo al suceso en el sistema de referencia de la estación. En otras palabras, se tiene que .

Desde un punto de vista clásico la situación sería la siguiente suponiendo que, en lugar de un rayo de luz, empleáramos balas de cañón:

Aplicaríamos entonces la ley de adicción de velocidades clásica y no habría fallo en la simultaneidad. Más adelante veremos que este experimento puede ilustrarse con una diagrama espacio-tiempo en los siguientes términos:

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Así, tanto las asimetrías aparentes del electromagnetismo como la imposibilidad de determinar el movimiento relativo con respecto al éter llevaron a Einstein a formular los dos siguientes postulados:Los enunciados de los postulados pueden realizarse de varias formas equivalentes. Éstos que yo he puesto son elaborados de mi propia cosecha.

¿Qué implicaciones tienen estos postulados? ¿Hasta qué punto modifican las ideas de la física clásica? Vamos a ver enseguida que las consecuencias son brutales hasta el punto de romper con las ideas absolutas de espacio y tiempo tal y como se entendían en la época. Para ello, debemos en primer lugar entender qué es un sistema de referencia y, posteriormente, un sistema de referencia inercial.

Sistemas de referencia.

Para ello, conviene definir en primer lugar el siguiente concepto.

A continuación, definimos el concepto central de esta sección:

Así, en un sistema para un espacio 1-dimensional, un evento se representa por el par donde es la posición en el espacio y su localización en el tiempo. En ocasiones, resulta conveniente expresar que dichas coordenadas están referidas al sistema , por lo que se escribe así:

Si existe otro sistema con un observador , éste registrará normalmente otras coordenadas para un mismo evento y escribirá

Para grabar las coordenadas espaciales se usa, normalmente, un sistema de ejes cartesianosEvidentemente es posible elegir otras coordenadas cualesquiera pero las cartesianas suelen ser las más sencillas de manejar. Únicamente en problemas con simetría esférica nos interesará trabajar con polares para dos dimensiones espaciales y esféricas para tres espaciales.. Tenemos así una malla en el espacio cuyo tamaño está dado por la unidad de medida que estemos utilizando. (Habitualmente, esta unidad de medida es el metro.)

Para registrar la coordenada temporal de un suceso vamos a diseñar un sistema común de tiempos. Se trata de una idealización en los siguientes términos: pensemos que en cada localización del espacio hay colocado un reloj. Todos ellos son relojes idénticos en el sentido de que marcan el tiempo de igual forma: un reloj atómico, un corazón humano, un proceso biológico, físico o químico en las mismas condiciones, etc.

Debido a la homogeneidad del espacio, todos estos relojes deben seguir marcando el tiempo de igual modo con independencia de su localización en el espacio. Además, vamos a suponer que todos estos relojes están sincronizados. ¿Qué significa esto? Pues lo siguiente: imaginemos dos relojes situados en dos localizaciones espaciales y . Diremos que ambos están sincronizados si, al enviar una señal luminosa el reloj al reloj en el instante , el reloj la recibe en el instante siendo

En realidad, podríamos utilizar cualquier otro tipo de señal dentro de nuestro sistema siempre y cuando la señal se transmita a velocidad constante con independencia de la dirección. Otros ejemplos serían un bala de cañón, el sonido si no hay viento, etc.

De esta forma nuestro sistema de referencia es capaz de asignar a cada evento una ubicación en el espacio en un instante de tiempo. El observador puede estar bien seguro de que todo se mide de forma correcta sin atender a complicaciones del estilo: el tiempo que tardo en ver lo que ocurre. (Lo que significa esta última afirmación se enmarca dentro de la distinción esencial entre observar y ver. Así, observar un fenómeno es un proceso mediante el cual le asignamos a un evento unas coordenadas en el tiempo y en el espacio tal y como las registra nuestro sistema de referencia. Sin embargo, ver un fenómeno implica que, un evento que sucede en alguna localización del espacio-tiempo, nosotros lo vemos con los ojos de modo que nuestra forma de percibirlo depende esencialmente de nuestra localización en el espacio así como de nuestro estado físico.)

Sistema de referencia inercial.

De entre todos los sistemas de referencia, nos interesan aquellos en los que la física se expresa de la forma más sencilla y nítida. Si ya de por sí es complicado analizar los fenómenos físicos, tampoco parece inteligente complicarnos la vida eligiendo sistemas de referencia que perturban, ensucian y contaminan los experimentos con efectos y ruidos que para nada tienen que ver con el trasfondo de los mismos.

En primer lugar tengamos presente la siguiente definición:

Observemos que se trata de una definición ideal pues, en la práctica, la gravedad como fuerza está presente en cualquier lugar del espacio. Aún así, sus efectos pueden ser despreciables cuando nos encontramos suficientemente alejados de las fuentes del campo gravitatorio.

Observemos que, para poder definir un sistema como inercial, es necesaria la total ausencia de campos de fuerzas con objeto de que las partículas puedan moverse libremente. Pero esta condición no es suficiente. El observador inercialmente también debe estar no acelerado. (Por ejemplo, en un ambiente inercial, si un observador está en rotación, verá que partículas libres siguen trayectorias circulares o helicoidales.)

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